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Kap. X. Flächenkurven und Flächenfamilien
dz I & ~ X J>1 dx + (y ~ ?«) d V = Q
]/c 2 — (x — x 0 Y — {y — y 0 )*
Auf der liuken Seite stellt ein vollständiges Differential, näm
lich das von z — ]/c 2 — (x — x 0 ) 2 — {y — y 0 ) 2 , und dieser Wert
muß daher konstant, etwa gleich z 0 , sein. Daraus ergibt sich
schließlich:
(x - x o y + (y- y 0 ) 2 + {e- z Q y = c 2 ,
d. h. die Fläche ist eine Kugel.
Wir setzten vorhin voraus, daß die Konstante X x = Y¡, + 0
sei. Ist dagegen X x = Y y = 0, so ergibt sich noch einfacher
X = konst., Y= konst., folglich auch Z = konst. Die Fläche hat
also lauter parallele Normalen. Wählen wir die z-Achse in der
Richtung dieser Normalen, so muß X = Y— 0, d. h. p — q — 0,
daher z — konst. sein. Wir gelangen mithin zu einer Ebene.
Satz 16: Die Ebenen und Kugeln sind die einzigen Flä
chen mit lauter Nabelpunllen. Auf ihnen ist jede Kurve eine
Krümmungskurve.
323. Die Flächennormalen längs einer beliebigen
Flächenkurve. Ehe wir die Krümmungskurven weiter unter
suchen, wollen wir eine beliebige Flächenkurve annehmen und
einige Formeln aufstellen, die sich auf die Lagerung der Nor
malen der Fläche z = f(x, y) längs der Kurve beziehen. Die
Kurve sei wieder dadurch gegeben, daß für x, y und z Funk
tionen einer Hilfsveränderlichen gewählt worden sind, die der
Gleichung der Fläche Genüge leisten. Die Normalen der Fläche
längs der Kurve werden im allgemeinen keine Tangentenfläche
bilden, also nicht die Tangenten einer Kurve sein. Aber es
wird Raumkurven geben, deren Tangenten zu diesen Normalen
parallel sind; wenn wir davon Gebrauch machen, ergibt sich
mit Leichtigkeit eine Reihe von nützlichen Formeln.
Wir stellen uns also eine Raumkurve vor, deren Punkte
(# 1; y X i zf) ebenfalls Funktionen jener Hilfsveränderlichen sind,
so daß jedem Punkte M oder (x, y, z) der Fläeheyikwxxe ein
gewisser Punkt M 1 oder (x 1} y x , zf) der Raumkurve entspricht,
nämlich derjenige, der zu demselben Werte der Hilfsveränder
lichen gehört, und außerdem soll die Tangente der Kaumkurve
322, 333]
