§ 3. Hauptkrümmungsradien und Krümmungsmaß einer Fläche 525 
muß daher die Determinante der in der Tafel angegebenen 
Größen gleich Eins sein, woraus s — — 1 hervorgeht. Daher 
gibt die folgende Tafel sämtliche Kosinus der Winkel beider 
o o 
Dreikante an: 
aßy Imn Xyv 
a ißi7i 0 cos 6 sin 6 
cos tu — sin 6 sin co cos 6 sin 03 
¿1 gl v 1 sin 03 sin 6 COS 03 —COS 0 COS 03 
Dies bedeutet im einzelnen: 
(7) 
(8) 
(9) 
Xa x + yß x -f vy 1 — sinö, 
al x -\- ßm^yn^cosgj; W 1 +mm 1 +ww 1 = — sinösinos, = cosösino3, 
ccA x -f- ßy x + yv x = sin 03; l l x -f- my x + nv 1 = sin 6 cos 03; XX t -\- vv t = — cos 6 cos 03. 
Differenziert man die Gleichungen (7), (8), (9) und nimmt 
man Rücksicht auf die Gleichungen (4), (5), (6) von Nr. 272 so 
wie auf die vorhin aufgestellten Formeln (2), (3) und (4), so er 
geben sich, wenn man nach Ausführung der Differentiationen 
die vorliegenden Formeln (7), (8) (9) benutzt, drei und nur 
drei verschiedene Gleichungen. Man erhält sie schon, wenn 
man nur die erste und zweite Gleichung (7) sowie die erste 
Gleichung (8) differenziert, nämlich die folgenden Bezie 
hungen : 
(10) COS OSi^ + COS = 0, 
(11) dx x = da — sin 0d<5, (12) dx = dd — sin cod6 y . 
Die Gleichung (12) läßt sich übrigens mit Rücksicht auf (10) 
auch so schreiben: 
(13) dx — dd -f- cos0 tgcodö. 
324. Bedingung für eine Krümmungskurve. Ins 
besondere werde jetzt angenommen, daß die Flächenkurve 
eine Krümmungskurve sei. Nach Satz 13, Nr. 319, ist dies 
der Fall, wenn dx, dy, dz zu dX, dY, dZ proportional sind. 
Weil nun dx, dy, dz zu den Richtungskosinus a, ß, y der 
Tangente der Flächenkurve, dagegen dX, dY, dZ nach (1) 
und (2) in voriger Nummer zu l lt m x , n x proportional sind, 
[323, 324