§ 4. Dreifache orthogonale Flächensysteme 
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System insbesondere orthogonal, wenn jede Fläche jeder Schar 
die Flächen der beiden andern Scharen überall senkrecht 
schneidet. Die Bedingungen hierfür lassen sich in doppelter 
Weise ausdrücken: 
Zunächst nämlich sind, wenn x, y, z die Koordinaten eines 
beliebig herausgegriffenen Punktes bedeuten, X x , X y , X z zu den 
Richtungskosinus der Normale derjenigen Fläche X = konst. pro 
portional, die durch diesen Punkt geht, nach Nr. 253. Ebenso 
sind g x , g y , g z bzw. v x , v y , v t zu den Richtungskosinus der 
Normalen derjenigen beiden Flächen g = konst. und v = konst. 
proportional, die durch den Punkt gehen. Für die Orthogo 
nalität ist folglich notwendig und hinreichend, daß die Summen 
der Produkte entsprechender Ableitungen der g und v, der v 
und X und der X und g gleich Null seien. Wir können aber 
auch so schließen: Es ist notwendig und hinreichend, daß die 
drei durch den beliebigen Punkt (x, y, z) gehenden Schnitt 
kurven je zweier der genannten drei Flächen in diesem Punkte 
zueinander senkrechte Tangenten haben. Nach der vorigen 
Nummer sind nun x x , y x , z x , ferner x fl , y h , z^ und endlich x y , 
y v , z v zu den Richtungskosinus dieser drei Tangenten propor 
tional, so daß die Summen der Produkte entsprechender Ab 
leitungen der x } y, z nach g und v, nach v und X und nach 
X und g gleich Null gesetzt werden müssen. 
Demnach lassen sich die notwendigen und hinreichenden 
Bedingungen der Orthogonalität in einer der beiden folgenden 
Arten ausdrücken: 
(2) + y v y x + z v z x = 0, 
' x x x ,l + ViVn + *1*? = °- 
In Nr. 330 wird gezeigt werden, wie man die Bedingungen 
der einen Art analytisch in die der andern Art umformen kann. 
329. Partielle Differentialgleichung dritter Ord 
nung für ein dreifaches orthogonales Flächensystem. 
Aus den Orthogonalitäts-Bedingungen der ersten Art kann man 
zwei der drei Funktionen X, g, v entfernen, indem man noch 
die Gleichungen benutzt, die durch die Differentiation dieser 
34* [338, 339