Zwölftes Kapitel. 
Theorie der Partialbruchzerlegung. 
§ 1. Existenz der Partialforuchzerlegung. 
381. Vorbemerkung’. Die Zerlegung der gebrochenen 
rationalen Funktionen in gewisse Summen von einfacheren 
gebrochenen rationalen Funktionen ist für die Analysis von 
großer Bedeutung. Wir werden sie besonders in der Integral 
rechnung anzuwenden Gelegenheit haben. Daher soll ihre 
Theorie, die man die Theorie der Partialbruchzerlegung nennt, 
hier entwickelt werden. 
Die unabhängige Veränderliche werden wir jetzt wieder 
mit x statt mit z bezeichnen; sie darf aber auch komplex sein. 
Nach Nr. 379 können wir annehmen, die vorgelegte gebrochene 
rationale Funktion F(cc) : f(x) sei schon in einer Form gegeben, 
in der die beiden ganzen rationalen Funktionen F{x) und f{x) 
relativ prim sind. 
Wir werden zuerst beweisen, daß sich F(x) : f(x) als 
eine Summe darstellen läßt, deren Summanden Brüche mit 
konstanten Zählern sind, während die Nenner ganze positive 
Potenzen von ganzen linearen Funktionen sind. Dazu tritt, 
falls F{x) von mindestens so hohem Grade wie f(x) ist, eine 
additive ganze Funktion. Wir wollen zeigen, daß es nur eine 
derartige Zerlegung gibt, und die Wege zur wirklichen zahlen 
mäßigen Berechnung der Zerlegung erörtern. 
382. Der grundlegende Satz. Der Satz, der die 
Grundlage für alles folgende bildet, lautet: 
381, 38»]