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Kap. IH. Theorie der bestimmten Integrale. 
'ms&. 
Wir wollen weiterhin h in (3) nach -j- oo streben lassen. 
Dabei liegt eine ähnliche Schwierigkeit vor wie vorher, jedoch 
nicht für die obere Grenze lim x = -f- oo, sondern für die untere 
Grenze x = 0. Denn für lim x = 0 und lim h = -f oo wird 
lim hx unbestimmt, so daß wir also nicht ohne weiteres für 
lim h = -f oo für hx den Wert -f oo setzen dürfen, für den 
sich aus (3) ja ergeben würde: 
(4) 
-f oo 
sin bx 
x 
dx = |-jr 
(für &>0), 
eine Formel, in der die linke Seite nach Nr. 469 konvergiert. 
Vielmehr müssen wir noch folgendes feststellen: Ist 6 eine 
beliebig kleine positive Zahl, so muß gezeigt werden, daß das 
von 0 bis 6 erstreckte Integral 
(5) 
— kx 
sin bxdx 
für lim h = -(- oo nach Null strebt. Hier ist 1 — e~ kx zwischen 
0 und 1 gelegen und der Integrand positiv. Nach Satz 14, 
Nr. 413, ist der folglich positive Wert dieses Integrals für 
jedes positive h nicht größer als 
CT 
l sinbx 
J * 
dx. 
Nun ist ferner sin bx ^ bx in dem Intervalle 0 x a, also 
das Integral (5) kleiner als