Full text: Integralrechnung (2. Band)

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Kap. III. Theorie der bestimmten Integrale 
(3) \A* = lim J x — lim J" 2 . 
a 0 = 0 A = + oo 
Da der Integrand des stets positiven Integrals J 2 kleiner als 
e _A *: (1 -f-1 3 ), also der Wert von nach (1) in Nr. 477 kleiner 
als ist, ergibt sich limjg =» 0 für lim A = + oo. Das 
Integral J x zerlegen wir in das von 0 bis T und das von T bis 
-{- oo erstreckte, indem wir unter T irgend eine positive Größe 
verstehen. Im ersten Integral, dessen Intervall von 0 bis T end 
lich ist, darf der Grenzübergang lim a 0 = 0 unterhalb des Inte 
gralzeichens gemacht werden, wodurch der Integrand in 1: (1 ff- t' 2 ) 
übergeht. Der Integrand des zweiten stets positiven Integrals 
von T bis -J- oo wird vergrößert, wenn sein Zähler durch Eins 
ersetzt wird. Deshalb ist 
T 
lim J x = I - 
Ofo — 0 J 1 
dt 
+~t' 
+ 00 
0 T 
wo 6 zwischen 0 und 1 liegt. Läßt man T nach ff- oo streben, 
so strebt der erste Summand nach und der zweite nach Null. 
Demnach ist lim J x — für lim a 0 = 0. Nach (3) ergibt sich 
somit aus (2) einfach d. h. A — ]/jt. Da A nach (1) 
positiv ist, muß ]/7t positiv sein: 
+ 00 + » ^ 
(4) J e~ 3fl dx = 2 f e~ xl dx = > 0. 
— oo 0 
Die Substitution x = £j/«, dx = dtya gibt, wenn a eine 
positive Zahl iet und ]/a positiv gewählt wird: 
+ 00 
(5) }er«+dt-*y^> 0 (für a>0). 
Nach Satz 23, Nr. 490, liefert nun w-malige Differentiation nach a: 
(6) ft'er-^’ät - t' 8 - 5 y Jt_ > o (für «> 0), 
— 00 
insbesondere für a = 1: 
ff- 30 
(7) Je- p t*”dt = —- 8 -:. 6 :'^ 2n -~ 1) yä > 0. 
— oo 
Macht man in (4) die Substitutionen # = < ff- «, dx = dt und 
x = t — a r dx — dt, so liefert die halbe Summe der Integrale: 
495]
	        
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