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Kap. III. Theorie der bestimmten Integrale
(3) \A* = lim J x — lim J" 2 .
a 0 = 0 A = + oo
Da der Integrand des stets positiven Integrals J 2 kleiner als
e _A *: (1 -f-1 3 ), also der Wert von nach (1) in Nr. 477 kleiner
als ist, ergibt sich limjg =» 0 für lim A = + oo. Das
Integral J x zerlegen wir in das von 0 bis T und das von T bis
-{- oo erstreckte, indem wir unter T irgend eine positive Größe
verstehen. Im ersten Integral, dessen Intervall von 0 bis T end
lich ist, darf der Grenzübergang lim a 0 = 0 unterhalb des Inte
gralzeichens gemacht werden, wodurch der Integrand in 1: (1 ff- t' 2 )
übergeht. Der Integrand des zweiten stets positiven Integrals
von T bis -J- oo wird vergrößert, wenn sein Zähler durch Eins
ersetzt wird. Deshalb ist
T
lim J x = I -
Ofo — 0 J 1
dt
+~t'
+ 00
0 T
wo 6 zwischen 0 und 1 liegt. Läßt man T nach ff- oo streben,
so strebt der erste Summand nach und der zweite nach Null.
Demnach ist lim J x — für lim a 0 = 0. Nach (3) ergibt sich
somit aus (2) einfach d. h. A — ]/jt. Da A nach (1)
positiv ist, muß ]/7t positiv sein:
+ 00 + » ^
(4) J e~ 3fl dx = 2 f e~ xl dx = > 0.
— oo 0
Die Substitution x = £j/«, dx = dtya gibt, wenn a eine
positive Zahl iet und ]/a positiv gewählt wird:
+ 00
(5) }er«+dt-*y^> 0 (für a>0).
Nach Satz 23, Nr. 490, liefert nun w-malige Differentiation nach a:
(6) ft'er-^’ät - t' 8 - 5 y Jt_ > o (für «> 0),
— 00
insbesondere für a = 1:
ff- 30
(7) Je- p t*”dt = —- 8 -:. 6 :'^ 2n -~ 1) yä > 0.
— oo
Macht man in (4) die Substitutionen # = < ff- «, dx = dt und
x = t — a r dx — dt, so liefert die halbe Summe der Integrale:
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