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man nachweist, daß sich die Eulerschen Integrale erster Gattung 
durch die Gammafunktion ausdrücken lassen: 
In der Formel (1) der vorhergehenden Nummer wird x = mz, 
dx = mdz substituiert, indem mau unter m eine positive Zahl 
versteht. Dann kommt: 
+ 00 
r(p) = m p j*e~ mi z p ~ 1 dz. 
o 
Somit gilt die in der Analysis öfters gebrauchte Gleichung: 
(für »t> 0, p> 0). 
Bedeutet x eine positive Zahl, so darf m = 1 + x gesetzt werden. 
Wird ferner pq statt p geschrieben und dann noch mit x p ~ l 
multipliziert, so kommt: 
+ oo 
(3) ix’-'e-Wgr+'-'de. 
V ' (l + x) p + ? + 
Ohne auf den Beweis dafür einzugehen (vgl. die Anmerkung zu 
Nr. 496), bemerken wir nun, dteß man bei der Integration dieser 
Gleichung hinsichtlich x von 0 bis + oo auf der rechten Seite 
diese Integration unterhalb des auf z bezüglichen Integralzeichens 
vollziehen darf. Dadurch ergibt sich: 
+ oo +oo -j-oe 
dx = 
dx \ dz. 
(i4-*) f+i r(p + a) t 
o v 1 ' 0 0 
Die linke Seite dieser Gleichung ist nach (2) in voriger Num 
mer gleich B(p, q). Ferner ist der Inhalt der eckigen Klammer 
nach (1) gleich r(j>) : z p . Mithin ergibt sich: 
+ 00 
= /(¡Ti)] 
oder nach (1) in voriger Nummer: 
(r\ TU» r (P) r (9) 
r(p + 2) 
Da somit die Eulerschen Integrale erster Gattung durch die 
Gammafunktion ausgedrückt werden können, werden wir in der 
Folge nur noch die Gammafunktion genauer untersuchen. 
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