Kap. IV. Theorie der Eulerßchen Integrale. 
Also verschwindet der Integrand für lim y = -f oo in höherer 
Ordnung als 1 : y, so daß das Integral nach Satz 4, Nr. 466, 
rergiert. 
Die Gammafunktion r(x) hat demnach die Ableitung (2), 
woraus nun noch ihre Stetigkeit für positives x folgt, nach 
Satz 1, Nr. 27. 
501. Darstellung von In r(x) durch ein bestimmtes 
Integral. Es sei z eine positive Zahl. Wir gehen alsdann 
von der Betrachtung des Ausdruckes aus: 
Vn*) 
1 _T(*) 
* * W * (1 -f zf' 
Für die im Minuenden auftretende Funktion r(x) setzen 
wir den Wert (1) aus voriger Nummer ein. Außerdem ist 
nach (1) in Nr. 497, wenn darin m durch 1 -f z, ferner p 
durch x und schließlich noch z durch y ersetzt wird: 
~ r feL- = Cs 
(1 + 
= i e 
o 
Demnach wird die Differenz (1) gleich 
-{- oo -f* 20 
. _ 1 
V 
V x ~ x dy. 
y x ~ 1 dy — J e~^ 1+z ^y x ~ 1 dy, 
so daß folgt: 
(2) — 1»--—— 
v ' z v J z (1 _j_ 2 ) a 
« z — p yz 
dy. 
Wir wollen diese Gleichung hinsichtlich z von 0 bis -f- oo 
integrieren. Diese Integration darf rechts unterhalb des auf y 
bezüglichen Integralzeichens geschehen, aber wir sehen davon ab, 
dies zu beweisen (vgl. die Anmerkung zu Nr. 496). Es geht hervor: 
'4 + 00 
n*)J [e- 3 —(1 e- y t/ x ~ 1 [ p ~ z e —dz 
dy. 
0 0 0 
gleich ln y, also die rechte Seite nach (2) in voriger Nummer gleich 
r’(x). Vertauschung beider Seiten der Gleichung gibt also: 
500, 501]