§ 1. Quadratur ebener Kurven.
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gegeben. Der Umlaufsinn soll positiv heißen, wenn die Fläche
beim Umlaufen auf derselben Seite liegt, wie die positive
y-Achse für jemanden, der längs der positiven x-Achse hin
blickt. Bei der gewöhnlichen Orientierung des Achsenkreuzes
soll also der Umlaufsinn positiv heißen, falls die Fläche
linkerhand gelegen ist. Nun sieht man: Das Integral (1)
stellt den Wert der Fläche dar, falls die Stiiclce der Fläche mit
dem Plus- oder Minuszeichen versehen werden, je nachdem sie
positiv oder negativ umlaufen iverden.
Nur wenn man jedem ebenen Flächenstücke zunächst einen
Umlaufsinn beigelegt hat, ist seine Fläche eine bestimmte
positive oder negative Zahl und zwar auch dann, wenn die
Begrenzung der Fläche sich selbst schneidet; und nur bei
bestimmt gewählten Umlaufsinnen kann man Flächen addieren
und subtrahieren.
Jedes beliebig, wenn nur stetig, begrenzte ebene Flächen
stück mit bestimmtem Umlaufsinne läßt sich durch solche
Flächenstücke ausdrücken, die mittels Integrale von der Form
(1) zu berechnen sind.
Z. B. mögen drei Kurven
V —fi 0*0, V = h 0*0
so beschaffen sein, daß die erste die
beiden Punkte Pz, P 3 , die zweite die
beiden Punkte P 3 , P t und die dritte
die beiden Punkte P x , P 2 verbindet,
so daß sie ein krummliniges Dreieck
PjPgPg einschließen, siehe Fig. 23. Es seien x x , x 2 , x s die
Abszissen der Ecken P 1} P 2 , P 3 . In dem Umlaufsinne P X P 2 P S
gemessen ist die Fläche des Dreiecks gleich
Xi J-i
(2) J f\(x)dx +j f<t(x)dx + j f 3 (x)dx,
X 3 Xi
indem jeder dieser drei Summanden eine bis an die Abszissen
achse heranreichende Fläche vorstellt, die ein bestimmtes Zeichen
hat, so daß sich die Flächenteile, die nicht innerhalb des Dreiecks
P 1 P 2 P S liegen, gegenseitig fortheben. In Fig. 23 haben wir die
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