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Kap. V. Quadratur und Rektifikation von Kurven. 
(i) 
f(x) — f(x) + X 
an jeder Stelle x im Intervalle von x 0 bis X ist. Lassen wir 
r nach Null streben, so können wir alsdann sagen, daß der 
Linienzug y = cp(x) nach der Kurve y = f(x) konvergiert. 
Ist x 0 < X, so folgt aus (1) ohne weiteres nach Satz 14, 
Nr. 413: . 
während im Falle x 0 > X das Zeichen < durch das Zeichen 
>> ersetzt werden muß. Hieraus schließen wir: 
x 
x 
weil X — £ 0 endlich ist. Wir haben also den 
Satz 1: Konvergiert in einem endlichen Intervalle ein ver 
änderlicher, aber stetiger Linienzug y = cp (x) nach einer be 
stimmt gegebenen stetigen Linie y = f(x), so ist auch der Grenz 
wert der Fläche jenes veränderlichen Linienzuges gleich der 
Fläche der gegebenen stetigen Linie. 
Demnach läßt sich die Flächendefinition in Nr. 409 be 
deutend verallgemeinern. Statt des treppenförmigen Linienzuges 
können wir z. B. das in Fig. 25 konstruierte Sehnenpolygon 
oder irgend einen anderen, nach der Kurve konvergierenden 
Linienzug an wenden. Da jedes ebene Flächen stück ausdrückbar 
ist durch solche Flächen, die nur einerseits krummlinig, anderer 
seits durch die Abszissenachse und überdies durch zwei Ordinaten 
geradlinig begrenzt sind, dürfen wir dasselbe allgemeine Ver 
fahren auf den Rand beliebiger ebener Flächenstücke in end 
lichen Bereichen anwenden, wodurch wir zu einer Fläche ge 
langen, deren Grenzwert die fragliche Fläche ist. Hiervon 
machen wir in der Folge einige Anwendungen. 
532. Quadratur in Polarkoordinaten. Ein Kurven 
stück AB, siehe Fig. 26, sei in Polarkoordinaten ra, q (vgl 
Nr. 203) durch die im Intervalle von gj 0 bis Qj stetige Funk 
tion q = f(p) gegeben. Der Fläche u zwischen der Kurve AB 
531, 538]