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§ 1. Quadratur ebener Kurven. 
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r Wahl 
(1) konst. X n -j- konst. y m = 0 
haben. Auflösung nach y gibt: 
(2) y = ax r , 
wo a und r Konstanten sind. Ist a < 0, so vertauschen wir 
y mit — y und kommen auf die Annahme a > 0, die wir 
daher im folgenden machen wollen. Nach Nr. 5 ist die 
Potenz x r für positives x als positive Zahl definiert. Wir be 
schränken uns mithin auf positive Werte von x und y. 
Ist r > 0, so heißt die Kurve parabolisch; sie geht durch 
den Anfangspunkt und hat keine Asymptote. Siehe Fig. 27 
für r = 3 und a = 0,2. Ist dagegen r < 0, so heißt die Kurve 
hyperbolisch; sie geht nämlich nicht durch den Anfangspunkt, 
Fig. 28. 
hat aber die Achsen zu Asymptoten (vgl. Nr. 171). Siehe 
Fig. 28 für r =■= — 2 und a = 1. Die hyperbolischen Kurven 
heißen auch polytropisch wegen ihrer Bedeutung in der Wärme 
theorie. Die Kurve (1) ist parabolisch oder hyperbolisch, je 
nach dem die Konstanten n und m dasselbe oder verschiedenes 
Vorzeichen haben. 
Ist r zwischen — 1 und + 1 gelegen, so führt die Ver 
tauschung von x mit y zu dem Falle, wo r 2 > 1 ist. Wir 
dürfen uns also auf die Annahmen r > 1 (parabolisch) und 
r < — 1 (hyperbolisch) beschränken. Die von x 0 bis x er 
streckte Fläche u der Kurve (2) ist: 
iC 
=/“ 3 
x r dx 
r +1 
r + 1 
xy — XoVo 
r -1-1 
wenn y 0 die zu x 0 gehörige Ordinate bedeutet. Handelt es 
sich um eine parabolische Kurve, ist also r > 1, siehe Fig. 27, 
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