§ 2. Näherungsweise und mechanische Quadratur. 
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4. Beispiel: Um die Fläche der Astroide (Nr. 238): 
& l ‘ 
x A -f- yr = a 
zu berechnen, siehe Fig. 31, stellen wir die Kurve durch die 
Gleichungen 
a cos 3 1, y = a sin 3 1 
x 
mittels der Hilfsveränderlichen t dar, so daß sich für das von 
t = 0 bis t = \ erstreckte Viertel der Gesamtfläche nach (2) 
in Nr. 533 ergibt: 
‘ft 1 — cos 41) dt 
o 
o 
Die Gesamtfläche ist mithin gleich drei Achteln der Fläche 
des Kreises vom Radius a, d. h. des Kreises durch die vier 
Spitzen der Kurve. Dies folgt auch daraus, daß die Astroide 
eine Hypozykloide ist (vgl. Nr. 238), und aus Nr. 241. 
§ 2. Nälierungsweise und mechanische Quadratur. 
535. Einschluß der Fläche zwischen zwei Werten. 
Für den Fall, daß die Auswertung des Integrals, mittels dessen 
ein Flächenstück zu berechnen ist, Schwierigkeiten macht, und 
für den Fall, daß die Begrenzung des Flächenstückes nicht 
analytisch, sondern nur zeichnerisch gegeben ist, hat man 
graphische Verfahren ersonnen, die wenigstens näherungsweise 
den Wert der Fläche zu bestimmen gestatten. 
Einige von diesen Verfahren, die hier abgeleitet werden 
sollen, beziehen sich insbesondere auf Flächenstücke, die von 
der Abszissenachse, zwei Ordinaten und einer krummen Linie 
umschlossen werden. In Anlehnung an diejenige Definition 
der Fläche als Grenzwert einer Summe, die in Nr. 409 ge 
geben wurde, beruhen sie darauf, daß die Fläche zunächst 
zeichnerisch durch eine Reihe von Ordinaten in schmale Streifen 
zerlegt wird. Dabei wählt man, um zu möglichst leicht aus 
führbaren Konstruktionen zu kommen, alle Flächenstreifen 
gleich breit. 
Wenn die Kurve, die das Flächenstück einerseits begrenzt, 
gegenüber der Abszissenacbse teils konvex und teils konkav ist, 
18 * [534, 535