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§ 2. Näkerungsweise und mechanische Quadratur. 
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der Breite b und mit den drei Ordinaten y 0 , y x , y 2 zusammen 
angenähert die Fläche 
jbfyo + y g ) 
(2) 
haben. 
Zu derselben Annahme und damit auch zur Simpsonschen 
Regel (1) führt die folgende rechnerische Überlegung: Die 
krumme Grenze der Fläche sei durch y = f(x) gegeben, und 
wir wollen voraussetzen, daß f(cc) in dem betrachteten Intervalle 
bestimmte endliche Ableitungen bis zur dritten Ordnung habe. 
Wir fassen nun zwei bei der Abszisse x Q beginnende Flächen 
streifen von der Breite b ins Auge. Ihre Fläche ist: 
i£o+ 26 
F = j f(x)dx = j f(x 0 -f- h)dh, 
wenn wir durch die Substitution x = x 0 -f- h die neue Ver 
änderliche ln einführen. Die Funktion von h: 
h 
ß 
f(x 0 -J- h)dh 
verschwindet für h — 0 und hat die Ableitungen f(x 0 -f- h), 
f(x 0 -f h) usw. Also ist nach Satz 19, Nr. 112: 
wobei 0 einen positiven echten Bruch bezeichnet. Setzen wir 
h = 2b, so ergibt sich: 
(3) I = 2 lf(x 0 ) + 26Y'W + + 296). 
Setzen wir nun andererseits: 
Vo = fW, Vi = f(x0 + b), y 2 = fixo -f 2b), 
so ist ebenfalls nach Satz 19, Nr. 112: 
Vi = f( x o) + &fOo) + Wf"( x o + ® b )> 
V-2 = fi x o) + (a? 0 ) + 2b 2 f"(x 0 + 2rjb), 
wobei -fr und r] positive echte Brüche bedeuten. 
Wir wollen nun drei Zahlen a, ß, y so bestimmen, daß 
der Ausdruck 
(4) (p = b(ccy 0 +ßy i + yy 2 ) 
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