§ 2. Näherungsweise und mechanische Quadratur. 
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Die Rechnung liefert auf 8 Dezimalstellen genau: 
F x = 0,693 77140, F 1 -F= + 0,000 624 22, 
F 2 = 0,693 522 72, F 2 - F = -f 0,000 375 54, 
F 3 = 0,692 98444, F z — F= — 0,000 162 74, 
F i = 0,693150 23, - F = + 0,000 003 05, 
F 6 = 0,693 147 11, -F 5 -F=- 0,00000007. 
im vorliegenden Beispiele also ist die Simpsonsche Regel 
(siehe F^) den drei andern entschieden überlegen; und die 
Simpsonsche Regel mit dem Korrektionsgliede (siehe _F 5 ) gibt 
sogar den Wert von ln 2 genau bis auf einen Fehler von nur 
7 Einheiten der 8. Dezimalstelle. 
540. Die von einer Strecke überstrichene Fläche. 
Man hat Apparate ersonnen, mit deren Hilfe man mechanisch 
den Inhalt von gezeichnet vorliegenden ebenen Flächenstücken 
bestimmen kann. Der wichtigste ist das sogenannte Polar- 
Planimeter. Um die Wirkungsweise dieses Instrumentes zu 
verstehen, betrachten wir 
von konstanter Länge l 
üb erstreicht, wenn er sich 
irgendwie in der Ebene 
bewegt. 
Zunächst ersetzen wir 
die wahre Bewegung des 
Stabes durch die folgende: 
Yon den verschiedenen 
Lagen, die der Stab nach 
und nach erhält, wählen 
wir eine beliebige Anzahl 
heraus. Es seien dies die 
Lagen A 0 B 0 , A t B v ... A n B n , 
siehe Fig. 35. Alsdann verschieben wir A 0 B 0 parallel mit sich und 
so, daß A 0 und B 0 die Senkrechten zu A 0 B 0 beschreiben, also 
ein Rechteck überstrichen wird, und zwar so weit, bis die A 0 B 0 
gegenüberliegende Seite des Rechtecks, die wir AqB'q nennen 
wollen, durch A x geht (wenn nötig, ihre Verlängerung). Da 
rauf wird ÄqBq längs der Geraden, auf der A'^Bq liegt, soweit 
[539, 540