aller einzelnen Sehnen GM l , M x M 2 , . . M n _ 1 D. Wir 
setzen X > x 0 voraus und bringen alle jene Längen positiv 
in Rechnung. Nun behaupten wir, daß die Länge des 
Sehnenpolygons einen und nur einen bestimmten endlichen 
Grenzwert hat, wenn alle Teilintervalle AP ly 
' — 1 ^ 
nach Null streben und dementsprechend ihre Anzahl n über 
jede Zahl wächst. Ist dies bewiesen, so nennen wir den Grenz- 
tvert die Bogenlänge s der Kurve von C bis D oder im Intervalle 
von x 0 bis X > x 0 . 
Ein beliebiger Teilpunkt M k der Kurve habe die Ko 
ordinaten x, y und der folgende Teilpunkt M k+1 die Koordinaten 
x + Ax, y + Ay. Die Sehne M k M k+1 hat dann die Länge: 
M t M k „= yjtf + J? - ^ j/l + (ijfL 
wobei auch die zweite Wurzel positiv zu nehmen ist, da 
Ax > 0 ist (wegen X > x 0 ). Aus dem Mittelwertsatze 3 von 
Nr. 28 folgt nun nach (1): 
4L_i<*±^ z m_ nx+ejx)t 
wobei 6 ein positiver echter Bruch ist. Demnach kommt: 
(2) M k M k+1 = Ax]/1 + \f'(x + 6A x 
Weil die Quadratwurzel aus 1 -f- [/ v ( a; )] 2 stetig ist, können wir 
die positive Größe Ax nach Satz 3, Nr. 20, so klein wählen, 
daß die in (2) auftretende Quadratwurzel von dieser Wurzel 
um weniger als eine vorgegebene beliebig kleine positive Zahl 6 
ab weicht. Bilden wir mit Hinzunahme von CM 1 und M n _ 1 I) 
die Gesamtlänge 
s=JSM t M k+1 
des Sehnenpolygons, so folgt, daß S von der Summe 
(3) 2}/i + [f (*)]’ Jx 
um weniger als <5 ^Ax abweicht, d. h. um weniger als <f(X — x 0 ) 
Wenn wir 
YT+Tnxjy — F(x) 
setzen und die Abszissen von M 1t mit 
x 1} ¿Tg, • • • x n-1 öezeicimen, nat üie öumme 
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