§ 3. Rektifikation von Kurven. 
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Nach Nr. 410 ist mithin ihr Grenzwert, falls alle Differenzen 
¿Ix oder x x — x ü , # 2 — x 1} ... X— % n _ x nach Null streben 
und dementsprechend n über jede Zahl wächst, gleich dem 
bestimmten Integrale: 
x 
x 
oder 
Nun aber erreichen wir diesen Grenzübergang, wenn wir 
die positive Zahl 6 immer kleiner wählen, wobei auch <s(X—a; 0 ) 
nach Null strebt, weil X—x 0 endlich ist. Also ergibt sich: 
x 
Dieselbe Schlußfolgerung können wir unter der Annahme 
x 0 > X machen. Da wir alsdann nach der Festsetzung in 
Nr. 169 die Kurve von C bis D im negativen Sinne durch 
laufen, werden wir jetzt alle Sehnen mit dem Minuszeichen 
versehen. Weil aber auch ¿Ix negativ wird, ist die Wurzel in (2) 
nach wie vor positiv zu wählen, mithin auch die in (4). 
Wir haben somit den 
Satz 2: Ist eine Kurve in einem Intervalle von x Q bis X 
durch eine Funktion y = fix) mit einer stetigen Ableitung f (x) 
gegeben, so haben die Längen aller der Kurve von der Stelle x 0 
bis zur Stelle X eingeschriebenen Sehnenpolygone den bestimmten 
endlichen Grenzwert 
x 
falls alle Sehnenlängen einzeln nach Null streben und dement 
sprechend ihre Anzahl über jede Zahl wächst. Werden die 
Sehnenlängen positiv oder negativ gerechnet, je nachdem x 0 < X 
oder x Q > X ist, so muß die Quadratwurzel positiv angenommen 
werden. 
Das Vorhergehende liefert uns also, falls die obere Grenze 
X willkürlich gelassen und daher mit x bezeichnet wird, die 
Bogenlänge * 
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