296 Kap. V. Quadratur und Rektifikation von Kurven. 
Werden die Längen der Polygonseiten positiv oder negativ ge 
rechnet, je nachdem t 0 <CT oder t 0 > T ist, so muß die Quadrat 
wurzel positiv angenommen werden. 
Der so gefundene Grenzwert heißt die Bogenlänge der 
Kurve von t 0 bis T. 
Wieder folgt hieraus sofort die Richtigkeit der Formel (3) 
von Nr. 257 für den Differentialquotienten der zum Intervalle 
von t 0 bis t gehörigen Bogenlänge s, nämlich: 
« j-vw+wmt 
Insbesondere kommen wir bei der Annahme, daß z = ij(f) = 0 
sei, zur Bogenlänge der ebenen Kurve, womit dann auch die 
letzten Formeln (3) und (4) in Nr. 193 exakt bewiesen sind. 
Da wir die Bogenlänge als Grenzwert der Länge des 
Sehnenpolygons definiert haben, folgt ohne weiteres, daß wir 
bei ein und derselben Kurve für ein bestimmtes Stück stets 
dieselbe Bogenlänge erhalten, in welcher Weise wir auch die 
Kurve analytisch geben. Wir wollen z. B. in (1) vermöge 
(5) x = a(t) 
eine neue Hilfsveränderliche r einführen, die wie folgt beschaffen 
sei: Erstens sei r von t = t 0 bis t — T eine beständig wachsende 
oder abnehmende stetige Funktion von t mit einer stetigen 
Ableitung und habe für t Q und T etwa die Werte r 0 und T. 
Zweitens soll umgekehrt vermöge (5) auch t als eine solche 
stetige Funktion von r im Intervalle von t q bis T definiert 
sein, die eine stetige Ableitung hat. Alsdann möge die Dar 
stellung (1) der Kurve in diese übergehen: 
z = <P(t), y = X(r), z = P(r). 
Nun folgt aus dem Vorhergehenden, daß 
T 
s -j Vr®W + [X'(t)]»+ [>T(i)]^t 
*0 
auch direkt aus