§ 3. Rektifikation von Kurven. 297 
hervorgeht, wenn wir hierin vermöge (5) die neue Veränder 
liche t einführen. 
Allerdings gilt dies nicht stets auch für das Vorzeichen, 
vielmehr nur dann, wenn x mit t beständig wächst. Andern 
falls ist das Vorzeichen zu ändern. 
Man drückt dies Ergebnis auch so aus: Die Bogenlänge 
ist — abgesehen von ihrem Vorzeichen — ein Begriff“ der gegen 
über der Einführung einer neuen unabhängigen Veränderlichen 
invariant ist. 
544. Grenzwert des Verhältnisses des Bogens 
zur Sehne. Wie wir in Nr. 542 ankündigten, werden wir 
jetzt den Beweis eines Satzes nachholen, der in Nr. 193 und 
Nr. 195 für ebene Kurven und in Nr. 257 und späterhin für 
Raumkurven benutzt wurde. 
Es werde die Kurve 
z = <p(ß)> V-M, 8 — 
unter der Voraussetzung betrachtet, daß cp, £, ip im Intervalle 
von t bis t Dt stetige Ableitungen haben. Die Länge der 
zu diesem Intervalle gehörigen Sehne ist gleich der Quadrat 
wurzel aus D x 2 -V D y 2 + Dz 2 , wenn Dx, Dy, Dz die Zunahmen 
sind, die x, y, z erfahren, sobald t um Dt wächst. Die zum 
Intervalle gehörige Bogenlänge sei Ds. Dann ist: 
ds 
Bogen ds dt 
Sehne ydx* dy 2 dz* -% 7fdxY* /dy\ 2 . /dz\%’ 
V \jt) + \dt) + [¿Ti) 
woraus für lim Dt = 0 folgt: 
ds 
■j.^ Bogen dt 
Aber nach (4) in Nr. 543 ist dieser Bruch gleich Eins. Also folgt 
Satz 4: Ist eine Kurve 
«-qp(0» 
gegeben und haben cp, %, rp in der Umgebung eines Wertes t 
stetige Ableitungen, so ist in dieser Umgebung der Grenzwert des 
[543, 544