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Kap. Y. Quadratur und Rektifikation von Kurven. 
Nach § 3 des 2. Kap. gehören die hier auftretenden Inte 
grale zu den elliptischen. Gerade der Umstand, daß die 
Bogenlänge der Ellipse durch ein derartiges Integral aus 
gedrückt wird, war der Anlaß zur Bezeichnung jener Klasse 
von Integralen als elliptische Integrale (vgl. Nr. 440). Ins 
besondere zeigen die Formeln (2) und (5), daß sich s e und s h 
durch die elliptischen Normalintegrale erster und zweiter Gattung 
darstellen lassen, nämlich durch die Integrale u und v von 
Nr. 448. 
Nach Legendre bezeichnet man das elliptische Normal 
integral erster Gattung mit F(cp) oder auch, da es außer von 
cp noch vom Modul h abhängt, mit F{h, cp); man setzt also: 
(ß) 
o 
Ferner benutzte Legendre für dasjenige elliptische Integral, das 
den Ellipsenbogen s e angibt, die Bezeichnung E(cp). Wollen 
wir auch den auftretenden Wert des Moduls h kenntlich machen, 
so schreiben wir E(Jc, cp), also: 
f 
(7) E(k, cp) = / Acp dcp. 
o 
Aus (2) folgt, daß das elliptische Normalintegral zweiter Gattung 
durch F(li, cp) und E(k, cp) in der Form 
( 8 ) /- h № f) - m ?)] 
o 
darstellbar ist. Aus (2) und (5) ergeben sich die Werte des 
Ellipsen- und Hyperbelbogens in den neuen Bezeichnungen so: 
(9) s e = E{k, cp), s A = (1 — k*)F(k, cp) — E(k, cp) + tgcp. Acp. 
547. Reihenentwicklungen für F(7c, cp) und !?(&, <p). 
In Nr. 446 haben wir die Normalintegrale erster und zweiter 
Gattung in Reihen entwickelt. Machen wir darin wie in 
Nr. 448 die Substitution x — sin cp, so gehen Reihen hervor, 
mittels derer F(k, cp) und E{k, cp) darstellbar sind. Aber ebenso 
bequem ist es, diese Darstellungen direkt abzuleiten. 
546, 547]