§ 4. Kektifikation einiger Kurven mittels elliptischer Integrale. 301 
Nach der Binomialreihe (4) in Nr. 125 ist nämlich: 
und zwar konvergieren diese Reihen, da sie Potenzreihen von 
ft 2 sin 2 <p sind und ft 2 < 1 ist, für jeden Wert von cp gleichmäßig 
(vgl. Nr. 428). Nach Satz 26 von Nr. 426 dürfen wir sie 
gliedweise integrieren. So ergibt sich: 
F{k, cp) = cp 
oo o 
cp w w 
E(k,cp) = cp — I sin*cp dcp— 
oo o 
Die hierin auftretenden Integrale lassen sich nach Nr. 459 
berechnen. 
Ist insbesondere cp = jn, so entnehmen wir aus (4) in 
Nr. 477: 
so daß sich ergibt: 
(2) 
«Ai*) - 4-* [i3 (äTs**)*— 6 (rtr.**)* -•••]• 
Nach (9) in voriger Nummer ist E(Jc,^tc) die Länge des 
Ellipsenquadranten mit der halben großen Achse 1 und der 
Exzentrizität 1c. 
Die Werte F(/c,-$jt) und E(Jc,~n) bezeichnet man auch 
mit F x (Je) und E x (Je): 
548. Transformation des Moduls Iz von F(lz, cp). 
Wenn wir wie bisher unter Je eine Zahl zwischen 0 und 1 und 
unter Acp die positive Quadratwurzel aus 1— 7c 2 sin 2 <p ver- 
[547, 548