§ 4. Rektifikation einiger Kurven mittels elliptischer Integrale. 305 
Die Zahlenreihe (3) erstreckt sich also von Null bis Eins. 
Wählt man n hinreichend groß, so wird k_ n beliebig wenig 
größer als Null und k n beliebig wenig kleiner als Eins. 
Da nun nach (10) in voriger Nummer allgemein für jedes 
ganzzahlige positive oder negative n 
W 
ist, wenn man außer der Rekursionsformel (2) noch analog den 
Formeln (1) von Nr. 548 festsetzt, daß 
sin (2cp n+i ~ <Pn) - K sin <Pn, cos (2<p n+l - (p n ) = A n <p n , 
sein und 2<p n+1 — cp n zwischen — jit und + jjt liegen soll, so 
folgt, daß sich jedes elliptische Normalintegral erster Gattung 
F(k, cp) durch ein anderes F(k_ n , cp_ n ) oder F(Jc n , cp n ) aus- 
drücken läßt, in dem der Modid k_ n beliebig wenig von Null 
bzw. der Modid k n beliebig wenig von Eins abweicht. 
Wenden wir dies Ergebnis z. B. auf F(k, \it) oder also 
auf F t (k) an, so folgt aus (12) in voriger Nummer: 
(6) 
mithin: 
“ (1+*-.)(!+ »-,)-Pi(*L,) 
- (1 + 4-0(1 + 4_,)(1 + 4_„) •••(!+ 4.„)ii(4-„). 
Weil nun k_ n für lim n = -f- oo nach Null und daher 
o 
nach jTt strebt, geht die folgende bemerkenswerte Entwicklung 
von F 1 (]c) in ein unendliches Produkt hervor: 
(7) ii(4) = i*(l + k_i) (1 + 4. 2 )(1 + *.,) • • • • 
Die gewonnene Reduktion eines elliptischen Normalintegrals 
erster Gattung auf ein solches, dessen Modul beliebig wenig- 
größer als Null ist, gestattet nach (2) in Nr. 547 die Ent- 
Serret-S cheffers , Diff.-u.Integral-Rechnung. II. 6. Aafl. 20 
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