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Kap. Y. Quadratur und Rektifikation von Kurven. 
Wicklung von F(k, cp) in eine unendliche Reihe, in der statt 
der Potenzen von k Potenzen eines Moduls stehen, der so 
wenig von Null ab weicht, wie man will, so daß man zu einer 
schnell konvergierenden Reihe gelangt. 
550. Reduktion von E(k, cp). Aus der Gleichung (8) 
von Nr. 548 folgt durch Multiplikation mit sin 2 ^ und An 
wendung der ersten Gleichung (2) von Nr. 548: 
_{k(l + *) + i(1 + *)Z-i(i+*)co 8 v dv 
und hieraus durch Integration: 
0 1 1 o 
— 1(1 -H k) sin cp, 
also nach (8) in Nr. 546 mit Rücksicht auf (5) und (10) in 
Nr. 548: 
(1) (1 + fyEfc, cpj) = E(k, cp) — F(k, cp) + k sin 9?. 
Wegen Ä:<A: 1 8 zeigt diese Formel, daß sich auch E(k x ,cp) 
auf elliptische Integrale zurückführen läßt, in denen der Modul 
k näher bei Null liegt, und durch wiederholte Anwendung 
dieser Reduktion läßt sich der Wert des Moduls beliebig nahe 
an Null heranbringen. 
551. Die Landensche Transformation. Die zuletzt 
abgeleitete Formel (1) hat eine merkwürdige geometrische Be 
deutung. Aus ihr folgt nämlich nach (9) in Nr. 546, wenn S g 
und s h wie in Nr. 546 den Ellipsen- und Hvperbelbogen be 
zeichnen und s und s h die entsprechende Bedeutung bei der 
jenigen Ellipse bzw. Hyperbel haben, bei der k durch k t und 
cp durch «jPj ersetzt ist: 
(1) s h = s e — 2 (1 -1 k) s Ci + 2k sin cp + tg cp . Acp. 
Jeder Hyperbelbogen läßt sich also durch zwei EUipsenbogen aus- 
drücken. Man kann aus den entwickelten Gleichungen auch 
leicht erkennen, daß sich jeder Ellipsenbogen durch zwei Hyperbel 
bogen ausdrücken läßt. 
549, 550y 551]