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Kap. V. Quadratur und Rektifikation von Kurven. 
556, 557] 
Im Falle a = b, in dem der größte Teil der aufgestellten 
Formeln versagt, gellt eine Kurve hervor, die sich in Polar 
koordinaten co, q so schreiben läßt: 
oder auch mit Hilfe der Veränderlichen cp so: 
q = 2 a cos cp, co = cp — ~ tg cp. 
Der Anfangspunkt ist ein asymptotischer Punkt der Kurve 
(vgl. Nr. 246), und die Kurve verläuft vollständig innerhalb 
des Kreises um den Anfangspunkt mit dem Radius 2 a. 
Auch im allgemeinen Falle a =}= & ist p natürlich nie 
größer als a -f- b. Man kann insbesondere a und b so wählen, 
daß sich eine algebraische Kurve ergibt, nämlich wenn man 
a = c]/w, b — cYn 4- 1 
setzt, wo n eine ganze positive Zahl bedeuten soll. Daß ins 
besondere für n = 1 die Lemnishate hervorgeht, wurde schon 
erwähnt. 
§ 5. Durch Kreisbogen rektifizierbare rationale Kurven. 
557. Umkehrung der Aufgabe der Rektifikation. 
Sind die Koordinaten x, y der Punkte einer Kurve als Funktionen 
einer Hilfsveränderlichen t gegeben: 
x=cp(t), 
so ist die von t — 0 an gerechnete Bogenlänge s der Kurve 
nach Nr. 543 bestimmt durch die Formel: 
o 
Da die Auswertung dieses Integrals wegen der vorkommenden 
Quadratwurzel allgemein geredet sehr schwierig ist, so daß die 
Ausführung der Rektifikation nur bei einer geringen Anzahl 
von vorgelegten Kurven möglich ist, wird man, um zu rekti 
fizierbaren Kurven zu kommen, die Stellung der Aufgabe nach 
dem Vorgänge von Euler so umkehren: 
O O