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§ 5. Durch Kreisbogen rektifizierbare rationale Kurven. 
Nicht die Kurve sei gegeben, sondern die Bogenlänge s 
als Funktion der Hilfsveränderlichen t. Alsdann sollen x und 
y so als Funktionen von t bestimmt werden, daß 
(1) 
fdx\ 2 
\dt 
+ 
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ist. Da nun zwei Funktionen x und y von t gesucht werden, 
die nur einer Bedingung (1) genügen müssen, kann man 
noch beschränkende Voraussetzungen treffen, z. B. die, daß 
x und y rationale Funktionen von t sein sollen. Alle Kurven, 
deren Koordinaten x und y rationale Funktionen einer Hilfs 
veränderlichen sind, heißen rationale Kurven; man erkennt 
leicht, daß alle rationale Kurven algebraisch (Nr. 187) sind. 
Ein Problem, das rationale Kurven betrifft, soll im folgenden 
behandelt werden. 
558. Die Serretschen Kurven. A. Serret stellte und 
löste eine Aufgabe, die für die einfachsten Fälle schon von 
Euler behandelt worden war, nämlich diese: 
Es sollen die rechtwinkligen Koordinaten x und y der 
Punkte einer Kurve als rationale Funktionen einer Hilfsver 
änderlichen t so bestimmt werden, daß die von t = 0 an ge 
rechnete Bogenlänge s gleich demjenigen Bogen eines Kreises ist, 
dessen Zentriwinkel den Wert zum Tangens hat. 
Ist k der Kreisradius, so soll also 
(1) s — k arc tg t 
sein. Daß sich diese Aufgabe lösen läßt, beruht auf dem Um 
stande, daß hier 
(ds\ 2 _ / ä \ 2 
\dt) \1 -f- Z / 
ist, während auch 
fdx\ 2 /dy\ 2 /dx 
\dt) + \TTi7 = \i 
k 
k 
(t+*V 
(t-i)* 
• dy\ 
(dx 
* ~dt) 1 
Kdt ~ t 
ist, so daß sich im vorliegenden Falle beide Seiten der 
Gleichung (1) der vorigen Nummer in zwei Faktoren zerlegen 
lassen. Wir benutzen also hier vorübergehend komplexe 
Größen. Es folgt zunächst: