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§ 5. Durch Kreisbogen rektifizierbare rationale Kurven. 321 
besondere a 0 = — i annebmen, so daß b 0 = + i wird. Alle 
anderen a und b sind dann von i und — i verschieden. 
Nun soll x -f- iy eine rationale Funktion von t sein. In 
Nr. 431 wurden die Bedingungen dafür gewonnen, daß die Inte 
gration einer rational gebrochenen Funktion wie (4) eine rationale 
Funktion liefert, und zwar auch für den Fall des Vorkommens 
komplexer Zahlen (vgl. Nr. 432, 433). Die erste Bedingung 
war die, daß der Nenner der rationalen Funktion (4) keine 
einfachen Nullstellen haben darf. Daher sind cc t , ... a. 
notwendig ganze Zahlen und größer als Eins, wenn sie nicht 
verschwinden. Wäre a 0 = 1, so wäre wegen 6 0 = i die Stelle 
t — i eine einfache Nullstelle des Nenners. Also ist auch a 0 
entweder gleich Null oder eine ganze Zahl größer als Eins. 
Im Falle cc n > 1 setzen wir cc a — 2 = r, so daß sich ergibt: 
d(x + iy) 
dt 
ke a (t+iT (t - a^f 1 •••(*- a n f n . 
dt (it-i) r + 2 
im andern Falle dagegen, wo « 0 -=0 ist, führen wir —t als 
neue unabhängige Veränderliche ein, woraus hervorgeht, daß 
sich dieser Fall der Annahme (5) für r — 0 unterordnet. Mit 
hin dürfen wir hei dem Ansätze (5) bleiben. 
Darin bedeuten also Je und X reelle Konstanten, r, cc x ,... cc n 
lauter ganze positive Zahlen, von denen nur r gleich Eins sein 
darf, während alle anderen von Eins verschieden sind, aber 
ebenso wie r gleich Null sein dürfen. Ferner sind a x und b x 
konjugiert komplexe Konstanten, ebenso a 2 und \ usw., schließ 
lich auch a n und b n . Überdies sind alle Zahlen a x , ... a n , 
voneinander und von i und 
verschieden. Hierin 
liegt, nebenbei bemerkt, daß keine der Zahlen a x> ... a n , 
b x , ... b n reell sein darf. Denn wäre z. B. a x reell, so wäre 
die dazu konjugiert komplexe Zahl b x auch gleich a x . 
559. Die einfachsten Serretschen Kurven. Das 
ansein andergesetzte Verfahren liefert alle rationalen Kurven, 
deren Bogenlänge sich in der Form s — Je arc tg t darstellen 
läßt, wo t die Hilfsveränderliche, d. h. die Veränderliche der 
rationalen Funktionen x und y bedeutet. Zu jedem Werte von t 
geben die Gleichungen, die man durch die Integration der 
rationalen Funktionen gewinnt, ohne weiteres die zugehörigen 
Serret-SchefferajDiff.-u. Integral-Rechnung. II. 8. Aufl. 21 [558, 559