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§ 5. Durch Kreisbogen rektifizierbare rationale Kurven. 323 
aber weder gleich. Null noch gleich Eins ist. Denn für m — 0 
wäre a = i und für m = 1 wäre a reell. 
Setzen wir nun für m eine von Null und Eins verschiedene 
Wurzel der Gleichung (5) in (4) ein, so liefert die Integration 
für x + iy eine rationale Funktion von z. Darin führen wir 
alsdann wieder den Wert (3) ein, so daß für x + iy eine ra 
tionale Funktion von t mit komplexen Koeffizienten hervor 
geht. Wird darin i überall durch — i ersetzt, so geht auch 
für x — iy eine solche Funktion hervor. Aus beiden ergeben 
sich schließlich durch Addition bzw. Subtraktion für x und y 
rationale Funktionen von t mit reellen Koeffizienten, so daß 
damit die Gleichungen der einfachsten SerretscJien Kurven ge 
funden werden. 
560. Eulersche Kurven. Wenn wir noch spezieller 
r = 1 setzen, gelangen wir zu Kurven, die schon Euler ge 
funden hat. In diesem Falle gibt die Gleichung (1) der letzten 
Nummer: 
/■j n. d(x -j- iy) Jce** (t -f- i) (t — d) a 
^ ' dt ~ (t — i) s (t — 6)° ’ 
während die Gleichung (5) nach Nr. 71 die quadratische Gleichung 
(« — 1) (z — l) 2 + 2 s (z — 1) = 0 
wird, die außer z = 1 nur die Wurzel: 
(2) » = 
hat. Setzen wir diesen Wert in die letzte Gleichung (2) der 
vorigen Nummer ein, so liegen die drei Gleichungen vor: 
(3) a = p iq } h = p — iq, p- -f q 2 -f 1 = 2ccq. 
Die ganze Zahl « hat man größer als Eins zu wählen. Als 
dann sind p und q als solche reelle Zahlen zu nehmen, die der 
letzten Gleichung genügen, so daß schließlich die beiden ersten 
Gleichungen (3) noch die Werte von a und h geben. Doch darf 
q nicht gleich Null sein. Nunmehr gibt die Integration von 
(1) eine rationale Funktion von t, die also ein Bruch aus zwei 
ganzen rationalen Funktionen ist, und zwar ist der Nenner 
dieses Bruches nach Nr. 430 gleich (t — i) 2 (t—6) a_1 , der 
Zähler dagegen von höchstens (a -f l) tem Grade. Bezeichnen 
wir diesen Zähler mit G{t), so muß also