§ 5. Durch Kreisbogen rektifizierbare rationale Kurven. 325 
1o = g — 2 arc tg t -j- 2 a arc tg + (a + 1) sr. 
Durch passende Drehung des Achsenkreuzes erreichen wir, daß 
die additive Konstante y -f- (a -f- 1) % wegfällt. Hiernach und 
nach (5) werden also die Eulerschen Kurven hei passender 
Wahl des Achsenkreuzes in Polarkoordinaten co, q so dar 
gestellt: 
p - 2 arc tg t, 
(?) 
p* + 2* + 1 ± * 
-———-— arc tg 
2 ö 2 
q = h 
(t — p)* + g* 
l + i ! 
Wir haben hierin den Wert von a aus (3) eingeführt. Die 
Konstanten p und q müssen so gewählt werden, daß 
(p 2 + # 2 + 1) : 2 g eine ganze Zahl größer als Eins wird, 
während h eine beliebig zu wählende Konstante bedeutet, die 
wir positiv annehmen können, damit q > 0 wird (vgl. Nr. 203). 
In (7) liegt alsdann eine Kurve vor, deren rechtwinklige 
Koordinaten x und y rationale Funktionen von t sind und deren 
Bogenlänge s, von t = 0 an gerechnet, nach (1) in Nr 558 die 
Form hat; 
(8) s — k arc tg t. 
Indem wir dies verifizieren, können wir leicht den Wert der 
Konstanten k feststellen. Denn mittels der Formel (1) von 
Nr. 545 oder also: 
/<M 2 v/dco\ 2 /dQ\2 
W “ ? U) + (rat) 
ergibt sich aus (7): 
so daß 
(9) Je == h Y(jp 2 -f- g 2 — l) 2 + 4p 2 
ist. 
Wollen wir x und y als Funktionen des Radiusvektors q 
darstellen, so gehen wir am besten auf die Formel (6) zurück. 
Da g = — (a-fl)jt gewählt worden war, muß e itx — (—l) a + 1 
gesetzt werden. Es kommt also: 
(10) cosco -f i sin co = (— l) a + 1 ^4 • 
v y t — t \t — jp 4- «q) 
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