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561. 562] 
328 Kap. V. Quadratur und Rektifikation von Kurven. 
Also folgt: Eine beliebige Kurve c können wir uns in der 
Form (2) gegeben denken, indem darin x und y Funktionen 
einer Hilfsveränderlicben t sind. Alsdann bat die Bogenlänge 
s dieser Kurve von der Stelle (t 0 ) bis zur Stelle ([t) nach (1) 
den Wert 
(3) 
wobei die Wurzel positiv ist, wenn die Bogenlänge im Sinne 
wachsender Werte von t positiv gerechnet wird. Dabei ist je 
doch nach Satz 15, Nr. 200, vorausgesetzt, daß die Evolute auf 
dem zugehörigen Stücke keinen Wendepunkt, singulären Punkt 
oder Scheitel habe. 
Indem wir in (2) für q? und irgend welche Funktionen 
setzen, erhalten wir also mit Leichtigkeit explizite Darstellungen 
von Kurven, deren Bogenlänge nach (3) ohne jede Integration 
ebenfalls explizite angegeben werden Tcann. 
562. Kurven, deren Koordinaten als Funktionen 
des Tangentenwinkels gegeben sind. Besonders einfach 
gestaltet sich dieselbe Betrachtung, wenn wir uns die Evolvente 
in der in Nr. 213 angenommenen Form (3) gegeben denken, 
in der x ihr Tangentenwinkel ist. Die Gleichungen der Evolute 
sind ebenda unter (8) angegeben. Der Tangentenwinkel der 
Evolute ist jedoch x -f Ix. Wenn wir diesen Wert mit x be 
zeichnen, haben die Punkte der Evolute die Koordinaten: 
(1) x = f'(x) sinr -\-f"(x) COST, y = — f'(x) cosr -\-f"(x) sin T. 
Nach (6) ebenda ist dann der Krümmungsradius der Evolvente: 
B = f(r) + f"(x). 
Also ist auch 
s = f(x) -f f"(x) -f konst. 
(2) 
die Bogenlänge der Kurve (1), von einer gewissen Stelle an 
gerechnet, von der es abhängt, welchen Wert die Konstante hat. 
Allerdings ist hier s nicht stets positiv gerechnet im 
Sinne wachsender Werte von r, sondern nur dann, wenn 
fix) -f- f"'(x) positiv ist. Im andern Falle hat man den Wert 
(2) noch mit — 1 zu multiplizieren.