330 Kap. VI. Kubatur, Komplanation und mehrfache Integrale.
als Polygonecken derart eingeschaltet werden, daß die Längen
aller Polygonseiten nach Null streben. Zugleich strebt E'
nach E, vgl. Satz 1, Nr. 531. Das Prismenvolumen aber hat
nach den Sätzen der elementaren »Stereometrie den Wert E’h.
Folglich ist das Volumen des Zylinders gleich dem Produlde aus
seiner Grundfläche E und Höhe h.
Wir gehen zu einer allgemeineren Betrachtung über: Es
werde ein ebenes Flächenstück E so bewegt, daß die Ebene
stets der ursprünglichen Lage E 0 parallel bleibt, während je
doch das Flächenstück E dabei nach irgend einem Gesetze
veränderlich sei nach Umriß und Größe. Das Flächenstück E
beschreibt alsdann, wenn wir das Verfahren bis zu einer End
lage E ± fortsetzen, einen Körper, siehe Fig. 46. Wir wollen
sein Volumen berechnen unter
der Annahme, daß uns der
Flächeninhalt E in jeder Lage
bekannt sei. Diese Annahme
ist so zu erfüllen: Wir benutzen
eine zu allen Ebenen senkrechte
Gerade als #-Achse, positiv im
Sinne der auszuführenden Be-
Fig. 46.
wegung, so daß zur Anfangsebene E 0 ein Wert x 0 und zur End
ebene E t ein Wert X der Abszisse gehört und X > x 0 ist.
Zu einer beliebigen Abszisse x, die zwischen x Q und X liegt,
gehört eine Ebene, in der das Flächenstück E den Inhalt u(x)
haben möge. Wir setzen voraus, u(x) sei im Intervalle von x 0
bis X eine stetige Funktion.
Betrachten wir die zu den Abszissen x und x -f- Hx ge
hörigen Ebenen E und E'. Zwischen E und E' liegt eine
Körperschicht von der Dicke Hx. Wir ersetzen sie durch den
jenigen geraden Zylinder von der Höhe Hx, dessen Grundfläche
das Flächenstück E und dessen Volumen also nach dem Vor
gehenden gleich u[x)Hx ist, weil E den Flächeninhalt u(x) hat.
Wenn wir das ganze Intervall von x 0 bis X durch ein
geschaltete Ebenen E irgendwie zerteilen, also den Körper
in Schichten von beliebigen Dicken Hx zerschneiden und wie
soeben jede Schicht durch einen Zylinder ersetzen, wird auch
die Oberfläche des Körpers durch eine neue ersetzt. Die neue
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