§ 2. Kubatur durch Doppelintegrale. 
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nach alle Werte 0, 1,2,...» — 1 bzw. 0, 1, 2, ... m — 1 zu 
setzen. Alsdann sind alle hervorgehenden n . m Produkte zu 
addieren. Natürlich ist dabei unter x n bzw. y m nach (2) die 
Endabszisse X bzw. Endordinate T zu verstehen. 
Indem wir statt der oben krummflächig begrenzten n . m 
Prismen die n . m Rechtflache einführen, ersetzen wir die 
Fläche (1) durch ein treppenförmiges Gebilde, nämlich durch 
ein Polyeder, das aus lauter Rechtecken gebildet wird. Yon 
ihnen sind n . m Rechtecke parallel zur #i/-Ebene, alle anderen 
zu dieser Ebene vertikal, nämlich diejenigen Teile der vertikalen 
Seiten der Rechtflache, die nicht zwei aneinanderstoßenden 
Rechtflachen gemein sind. 
Daß das Ersatz-Polyeder von der Fläche (1) überall um 
so weniger abweicht, je kleiner alle Teilintervalle zwischen x 0 
und X und zwischen y Q und Y angenommen werden, folgt aus 
dem in Nr. 486 über die Schwankung einer stetigen Funktion 
von zwei Veränderlichen aufgestellten Satze 18. Diese beiden 
Veränderlichen sind jetzt x und y statt x und a, wie sie 
damals hießen. Nach jenem Satze gibt es, falls ö eine beliebig 
klein gewählte positive Zahl bedeutet, stets eine positive Zahl 
h derart, daß die Höhe des Ersatz-Polyeders über der iry-Ebene 
überall um weniger als 6 von der Höhe der Fläche (1) ab 
weicht, sobald nur alle Seiten aller Teilrechtecke von AB CD 
kürzer als h angenommen werden. 
Unser Ziel ist nun, zu zeigen, daß die Doppel summe J 
einem bestimmten endlichen Grenzwerte zustrebt, wenn alle 
Teilintervalle x i+l — x i und y i+l — y v d. h. alle Seiten aller 
Teilrechtecke des Rechtecks AB CD nach Null streben und 
demnach die Anzahlen n und m über jede Zahl wachsen. 
Diesen Beweis führen wir in den beiden nächsten Nummern. 
Hier sei nur noch bemerkt, daß man die Doppelsumme J 
natürlich auch ohne die räumliche Veranschaulichung definieren 
kann, indem man sich auf die geometrische Deutung in der 
#t/-Ebene beschränkt. Denn die Funktion f(x, y) hat ja für 
jeden Punkt (x, y), der im Linern oder auf dem Rande des 
Rechteckes AB CD liegt, einen bestimmten Wert, und die 
Doppelsumme J ist also die Summe der Produkte der Flächen 
aller Teilrechtecke (# i+1 — x^ (y l+1 — mit denjenigen Werten 
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