342 Kap. VI. Kubatur, Komplanation und mehrfache Integrale. 
f(x i} y z ), die der Funktion jeweils in den Anfangsecken der 
Teilreehtecke zukommen. 
Die vorhin vorläufig gemachte Annahme, daß die Funktion 
f(x, y) überall in ihrem Bereiche AB CD positiv sei, brauchen 
wir bei dem zu führenden Beweise nicht 
570. Existenz eines Grenzwertes des Polyeder 
volumens. Wir haben in der letzten Nummer eine Doppel 
summe (4) gebildet, die sich auf eine gewisse Zerlegung des 
Rechtecks AB CD, des Variabilitätsbereiches der Funktion f, 
bezog. Da wir diese erste Zerlegung nachher durch weiter 
gehende Zerlegungen verfeinern werden, wollen wir jetzt die 
Doppelsumme J x nennen, also setzen: 
n — 1 CT — 1 
(1) 
■ T i='y} Y ffe !/,) (*,+,-*() - y 
Es bedeute nun k u den kleinsten und g u den größten 
Wert, den f(x, y) für die Stellen (x, y) innerhalb des Teil 
rechtecks mit der Anfangsecke (x v y t ) eiTeicht. Wenn wir 
f(x i} y,) in (1) durch den nicht größeren Wert k it oder durch 
den nicht kleineren Wert g u ersetzen, gehen zwei Doppel 
summen 
n — 1 CT - 1 
0 0 
n — X ct — 1 
Yi•= ^9u(Xi+1 - «<) (y l+ 1 - Vi) 
0 0 
hervor, zwischen denen J t gelegen ist, weil die Produkte 
x i) (?/ I+ 1~ &), die gleich den Flächen der Teilrechtecke 
sind, positive Werte haben. 
Ist ferner K der kleinste und G der größte Wert, den 
f(x,y) in dem ganzen Rechtecke AB CD erreicht, und ersetzen 
wir in x x jeden Faktor k it durch den nicht größeren Faktor K 
sowie in y x jeden Faktor g it durch den nicht kleineren Faktor G, 
so gehen die Produkte von K bzw. G mit der Gesamtfläche 
von ABCD hervor: 
K = K(X — x Q ) (Y— y 0 ), T - GiX - x 0 ) (Y-y 0 \ 
569, 570]