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344 Кар. VI. Kubatur, Komplanation und mehrfache Integrale. 
Schwankung von f in den entstehenden neuen Teilrechtecken 
überall geringer als x 3 wird, usw. Zu jeder Teilung gehört, 
wie zur ersten die Doppelsumme J lf eine Doppelsumme J 2} 
Jj, usw. 
Bei dieser fortgesetzten Verfeinerung der Zerlegung tun 
wir mit jedem schon vorhandenen Teilrechtecke genau das 
selbe, was wir zuerst mit dem Gesamtrechtecke AB CD getan 
haben. Daher lassen sich die Schlüsse genau so wie in Nr. 406 
wiederholen. Es mögen x 2 , x 3) .. . die Summen der Produkte 
aus allen Teilrechtecken der 2., 3., Zerlegung mit den je 
weils kleinsten Werten von f in den betreffenden Teilrechtecken 
sein. Ebenso sollen y 2 , y 3 , . .. die Summen der Produkte aus 
allen Teilrechtecken der 2., 3., ... Zerlegung mit den jeweils 
größten Werten von f in den betreffenden Teilrechtecken be 
deuten. Da nach Voraussetzung x x > r 2 > t 3 ... ist, bestehen 
nun Ungleichungen von folgender Form in unbegrenzter Anzahl: 
x i£ J i£yi> У1- х 1< т Л х — Хо)( т -Уо)> 
^2 = У%) У2 X 2 ^ ^2 ( X i. X Уо)> 
X 3 = Узу Уз х з ^ т з ( X ^0) Уо); 
X i ^ *2 ^ *s • • •> У1 ^ У2 к Уз • • • 
Weil tTj, x 2 , r 3 , ... nach Null streben, folgt hieraus wie in 
Nr. 406, daß die Folge J ly J 2 , J 3 , einen bestimmten end 
lichen Grenzwert lim J n hat. 
571. Ein einziger Grenzwert des Folyedervolnmens. 
Jetzt ist noch zu zeigen, daß derselbe Grenzwert hervor 
geht, wenn wir von irgend einer anderen Zerlegung des Recht 
ecks AB CB durch Parallelen zu seinen Seiten ausgehen und 
hier die Zerteilung ohne Ende verfeinern, gerade so wie in 
Nr. 407. 
Es sei x eine beliebig klein gewählte positive ZahL Eine 
erste Zerlegung des Rechtecks AB CD denken wir uns so weit 
getrieben, daß die Funktion f in jedem Teilrechtecke um 
weniger als x schwankt. Eine zweite Zerlegung des Rechtecks 
denken wir uns so weit getrieben, daß zwischen je zwei auf 
einanderfolgenden Teilgeraden der ersten Zerlegung mindestens 
570, 571]