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346 Kap. VI. Kubatur, Komplanation und mehrfache Integrale. 
dieser Glieder von J' heiße S a p yä , so daß die Doppelsumme X 
die Summe aller dieser Teilsummen S a ^ yä ist. Zum Recht 
ecke aßyd gehört andrerseits ein Summand P a ß Y t der Doppel 
summe J, nämlich das Produkt der Fläche aßyd mit f a . 
Nach dem, was wir vorhin sahen, weicht aber S atJyä von 
um weniger ab als das Produkt der Fläche des Recht 
ecks aßyd mit r. 
Also folgt: Die Doppelsumme J’ weicht von der Doppel 
summe J um weniger ab als das Produkt der Gesamtheit aller 
Rechtecke aßyd der ersten Teilung mit t. Diese Gesamtheit 
ist aber das ganze Rechteck ABCD, und seine Fläche ist 
gleich (X — x 0 ) (Y — y 0 ). Mithin kommt: 
| X-J\<x(X-x 0 )(Y-y 0 ). 
Für lim x = 0 folgt hieraus lim J' = lim J. 
Hiermit ist der grundlegende Satz gewonnen: 
Satz 1: Ist f{x, y) eine in dem Variabilitätsbereiche 
stetige Funktion der beiden Veränderlichen x und y und werden 
zwischen x 0 und X sowie zwischen y Q und Y beliebige Werte 
in steigender Folge eingeschaltet: 
x Q <x 1 <x 2 <-^<x n _ 1 <X, yo<Vx<y2<"‘<V,a-\ < Y, 
so hat die Doppelswnme 
ft) O&i+i ~ x i) (V l+ 1 ~ %), 
0 0 
in der x n und y m die Werte X und Y bedeuten sollen, einen 
von den gewählten Zunschenwerten unabhängigen bestimmten end 
lichen Grenzwert, falls alle Teilintervalle x x — x 0 , x 2 — x l: . .. 
X - x n _ ± und y x — y 0 , y 2 - y x , . . . Y- y m _ x nach Null 
streben und dementsprechend ihre Anzahlen n und m über jede 
Zahl wachsen. 
Wir erwähnen noch, daß der Beweis zwar auf eine Figur 
gestützt wurde, diese Figur aber ganz hätte vermieden werden 
können. Statt z. B. vom Rechtecke ABCD und seiner Anfangs 
ecke A zu sprechen, hätten wir ebenso gut von dem Varia 
bilitätsbereiche 
X Q < X < X, y 0 £y£Y 
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