348 Kap. VI. Kubatur, Komplanation und mehrfache Integrale. 
Nach Satz 1 der vorhergehenden Nummer ergibt sich für J 
immer derselbe Grenzwert, in welcher Art auch die Differenzen 
x i+i~ x i un( ^ + i —nach Null streben, während ihre Anzahlen 
» und m über jede Zahl wachsen. Deshalb ist es gestattet, zu 
nächst nur die Differenzen x i+1 — x t nach Null streben zu lassen, 
während man die Differenzen y l+1 —y t unverändert läßt, und 
zweitens, nachdem dieser Grenzübergang erledigt ist, auch alle 
Differenzen y l+x — y t nach Null streben zu lassen. Zuerst werde 
demnach die Summe betrachtet: 
m—t n—1 
(3) [ iiin y*) 
O 1 
worin sich das Limeszeichen auf die Differenzen x i+l — x { bezieht. 
Der Inhalt der eckigen Klammer ist der Grenzwert der Summe: 
f( x o,Vi) i x x~ x o) + f( x i» Vi) ( x t~ x x) + — +/■(**_!,%) {X~ x n_ x ). 
Diese Summe aber hat die Form der Summe J in Nr. 410 mit 
dem einzigen Unterschiede, daß hier überall in f außer den 
Werten x 0 , x lf ... x n _ 1 noch ein und derselbe Wert y t auftritt. 
Folglich ist der Grenzwert dieser Summe nach Nr. 410 das 
Integral x 
X a 
dessen Integrand außer von x noch von einem Parameter y, 
abhängt. Nach Satz 19, Nr. 487, worin jetzt a durch y t er 
setzt werden muß, ist dies Integral eine stetige Funktion von y i 
innerhalb des Intervalles y 0 = 2/; = Y. Wir wollen sie mit F(y t ) 
bezeichnen: x 
(4) F(g^=Jf(x,y^dx. 
Hiernach hat die Summe (3) den Wert: 
F{y Q ) {y x y 0 ) + FM (y*-yi) + --' + F(y m -i) (J~y m -1). 
Lassen wir nun zweitens alle Differenzen yi—y 0 ,y i —y 1 t'..,Y—y m _ 1 
nach Null streben, so ergibt sich nach Nr. 410 als Grenzwert 
der vorstehenden Summe das bestimmte Integral 
y 
J F(y)dy, 
Po 
57»]