350 Kap. VI. Kubatur, Komplanation und mehrfache Integrale. 
Daß wir nämlich auch zuerst hinsichtlich y und alsdann 
hinsichtlich x integrieren dürfen, läßt sich ganz ebenso zeigen, 
folgt aber auch sofort aus Satz 21, Nr. 489. Wir haben, wie 
schon bemerkt wurde, von Nr. 489 an wiederholt Doppel 
integrale betrachtet, jedoch nur in spezieller Auffassung, näm 
lich als Ergebnisse zweier aufeinanderfolgender Quadraturen. 
573. Eine Verallgemeinerung. Indem wir die An 
nahmen der drei letzten Nummern beibehalten, ersetzen wir 
jetzt die bisher betrachtete Doppelsumme 
y)/!x /ly 
Ax Ay 
durch eine ähnlich gebaute Doppelsumme 
y^)/lx /ly. 
A x Ay 
Hierbei soll, wenn /Ix und /ly die Seiten irgend eines der 
Teilrechtecke sind, unter (x', y') irgend ein Punkt im Innern 
des Teilrechtecks oder auf seinem Rande verstanden werden, 
also nicht mehr notwendig, wie bisher, gerade die Anfangs 
ecke. Die Doppelsumme soll somit aus den Produkten aller 
Teilrechtecke mit Werten der Funktion für jeweils in den Teil 
rechtecken irgend wie gewählten Punkte bestehen. Man kann 
beweisen, daß diese Doppelsumme J’ denselben Gegenwert wie 
die Doppelsumme J hat, falls alle Seiten /Ix und /ly aller 
Teilrechtecke nach Null streben und demnach ihre Anzahl über 
jede Zahl wächst. 
Denn man darf annehmen, daß die Zerlegung des Gesamte 
bereiches schon so weit verfeinert worden sei, daß die Funktion 
f(x, y) in jedem Teilrechtecke /Ix/ly um weniger als eine 
gegebene beliebig kleine positive Zahl r schwankt, nach Satz 18, 
Nr. 486. Dann weicht f(oc', y') von f(x, y) überall um weniger 
als x ab, wenn (x, y) die Anfangsecke und (x\ y') eine beliebige 
Stelle eines Teilrechtecks bedeutet. Folglich wird 
| T- J \ 
A x Ay 
Rechts steht hier die Summe aller Teilrechtecke, d. h. die 
Fläche (X—x 0 )(Y—y 0 ) des Rechtecks ÄBCD. Strebt nun 
x nach Null, so folgt lim = 
578, 5731