352 Kap. VI. Kubatur, Komplanation und mehrfache Integrale. 
ecke (x if y x ) ist. Wenn das Teilrechteck völlig innerhalb JE 
liegt, ist also e it seine ganze Fläche; wenn es völlig außerhalb 
E liegt, ist e iX gleich Null. Wenn schließlich das Teilrecht 
eck vom Rande durchschnitten wird, ist e it zwischen Null und 
dem Gesamtinhalte des Teilrechtecks gelegen. Auch in diesem 
Falle ist die Fläche e n nach Nr. 409 wohldefiniert, weil der Rand 
eine stetige Linie sein soll. Jedes Flächensttick e ix werde nun 
mehr mit demjenigen Funktionswerte f(x { , y x ) multipliziert, den 
die Funktion für die Anfangsecke (x { , y t ) des Teilrechtecks 
annimmt, dem e {l angehört. Durch Addition aller entstehenden 
Produkte ergibt sich die zu betrachtende Doppelsumme, die 
wir so schreiben: 
^ yy«> 
E 
indem wir durch den Index E darauf hin weisen, daß alle 
Flächenstücke e iX zusammen die Fläche des Bereiches E aus 
machen. 
Wir wünschen zu beweisen, daß J einen bestimmten end 
lichen Grenzwert hat, wenn alle Differenzen x 1 —x Q , x 3 — x lf ... 
X — x n _ 1 und — tj Q , y 2 — y u ... Y—y m _i nach Null streben 
und dementsprechend ihre Anzahlen über jede Zahl wachsen. 
Zunächst schließen wir ähnlich wie in Nr. 570: Ange- 
genommen werde irgendeine endlose Folge von lauter beständig 
abnehmenden und nach Null strebenden positiven Zahlen r lf 
t 2 , t 3 , .... Eine ersie Zerlegung sei dann so beschaffen, daß die 
Funktion in jedem Teilrechtecke um weniger als schwankt. 
Diese Zerlegung werde durch Zwischenschalten neuer Teil 
geraden parallel den Achsen soweit verfeinert, bis die Funktion 
in jedem Teilrechtecke der neuen, zweiten Zerlegung um weniger 
als r 2 schwankt, usw. Zu den Zerlegungen gehören wohldefi 
nierte Doppelsummen J l} J s , J ä , ... in endloser Folge. Ins 
besondere sei 
E 
die Doppelsumme bei der ersten Zerlegung. Bedeutet nun h it 
den kleinsten und g ix den größten Wert, den die Funktion f 
im Teilstücke e u annimmt, so liegt J x zwischen 
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