§ 2. Kubatur durch Doppelintegrale. 
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in jedem solchen Teile des Bereiches wird, in dem x und y um 
nicht mehr als 6 variieren. 
Infolgedessen können wir die Ergebnisse der letzten Nummer 
so formulieren: 
Satz 5: Die Funktion fix, y) von x und y verhalte sich 
stetig im Innern und auf dem Bande eines Bereiches E in der 
xy-Ebene, den eine geschlossene, aber sich selbst nicht schneidende 
stetige Linie begrenzt. Wird der Bereich durch Barallelen zu 
den Achsen zerlegt, ferner das Frodnkt aus jedem positiv ge 
messenen Teilstücke e ix der Fläche E mit demjenigen Werte fp 
gebildet, den die Funktion f von irgend einer Stelle B des be 
treffenden Stückes annimmt, und wird schließlich die Summe aus 
allen so entstehenden Brodukten gebildet, so hat die hervorgehende 
Doppelsumme 
e il 
E 
einen von der Zerlegung und der Wahl der Stellen B unabhängigen 
Grenzwert, wenn alle Entfernungen zwischen je zwei aufeinander 
folgenden parallelen Teilgeraden nach Null streben und dement 
sprechend die Anzahl aller Teil 
stücke über jede Zahl wächst. 
Man kann die Doppelsumme 
in zwei Teile zerlegen, wovon t 
sieb der eine auf die vollstän 
digen Teilrecbtecke bezieht, die y 
wir r {j nennen, dagegen der andere 
auf die unvollständigen, die wir 
s { j nennen. Die Doppelsumme x 
stellt sich dann so dar: Flg ' 52 
(1) J = 2J£fp r ij + JEfrS ir 
E E 
In Fig. 52 sind die s^ die schraffierten Flächenstücke. Sie 
werden durch eine geschlossene gebrochene Linie l von den 
vollständigen Rechtecken r {j getrennt. Bedeutet M das Maxi 
mum des absoluten Betrages der Funktion f im Innern und 
auf dem Rande k von E, so ist der absolute Betrag des zweiten 
'feiles der Summe (1) nicht größer als M, multipliziert mit 
der Summe aller s iJ7 so daß dieser zweite Teil beim Grenzüber- 
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