356 Kap. VI. Kubatur, Komplanation und mehrfache Integrale. 
gange nach Null strebt, falls die Summe aller s ijy d. li. die 
zwischen l und k gelegene Fläche nach Null strebt. Ist dies 
der Fall, so kann man bei dem Grenzwerte lim J von J auf 
den zweiten Teil verzichten. Wenn dann /lx und /ly die 
positiv gerechneten Seiten irgend eines vollständigen Teil 
rechtecks r { . sind und x, y die Koordinaten irgend eines Punktes 
bedeuten, der im Innern oder auf dem Rande des betreffenden 
Teilrechtecks r i) - liegt, ergibt sich folglich diese symbolische 
Darstellung des Grenzwertes: 
E 
Man bezeichnet diesen Grenzwert, der sich, wie gesagt, nur 
noch auf alle vollständigen Teilrechtecke in E bezieht, wieder 
als das Doppelintegral 
F. 
erstreckt über den Bereich E. 
Wir haben aber noch zu untersuchen, ob die Summe aller 
%, d. h. die zwischen l und k gelegene Fläche, beim Grenz- 
übergange in der Tat nach Null strebt. Da l und k stetige 
Linien sind und überdies l beim Grenzübergange nach k kon 
vergiert, scheint es ohne weiteres aus Satz 1, Nr. 531, zu 
folgen. Aber man muß beachten, daß dieser Satz nur dann 
anwendbar ist, wenn k aus den Bildlinien von nur einer oder 
von nur einigen stetigen Funktionen y von x besteht. Mit den 
bisher gemachten Annahmen ist es aber wohl vereinbar, daß k 
von Parallelen zur y-Achse in unzählig vielen Punkten getroffen 
wird, und dann ist jener Satz nicht anwendbar. Immerhin 
würde man dann, falls die Parallelen zur #-Achse die Linie k 
nicht unendlich oft treffen, die Abszisse mit den Ordinaten 
vertauschen und also doch den Satz an wenden können. Das 
selbe gelingt durch Einführung eines gedrehten Achsenkreuzes, 
wenn es überhaupt eine Schar von parallelen Geraden gibt, 
die k nur in je einer endlichen Anzahl von Punkten treffen. 
Wir wollen uns aber auf den Fall beschränken, wo k von 
keiner Geraden in unzählig vielen Punkten geschnitten wird. 
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