§ 2. Kubatur durch Doppelintegrale. 357 
Zur Vereinfachung des Ausdruckes formulieren wir die Vor 
aussetzungen als die 
Forderung 2): Die zu betrachtende Funktion von zwei Ver 
änderlichen x und y soll sich innerhalb eines Bereiches der xy-Ebene 
und auf seinem Bande stetig verhalten. Der Band soll eine ge 
schlossene und sich nicht schneidende stetige Linie sein. Abgesehen 
von etwa vorhandenen geradlinigen Bandstücken soll es keine 
Gerade geben, die mit dem Bande unendlich viele Funkte ge 
mein hat. 
Erfüllt die Funktion f(x, y) diese Forderung für den 
Bereich E, so ist das Doppelintegral (3) wohldefiniert. Weil 
es sich in der Form (2) als Grenzwert einer Summe darstellen 
läßt, in der nur die vollständigen Teilrechtecke <dx Ay Vor 
kommen, ist es für die Anwendungen vorteilhaft, sich zu 
merken, daß man bei der Aufstellung der Doppelsumme, deren 
Grenzwert das Doppelintegral ist, alle unvollständigen Teilrecht 
ecke unberücksichtigt lassen darf. 
576. Eigenschaften des Doppelintegrals. Ehe wir 
zeigen, wie man Doppelintegrale berechnet, sollen noch einige 
Eigenschaften der Doppelintegrale nachgewiesen werden. Wir 
setzen dabei voraus, daß die Funktion 
f(x, y) die Forderung 5D im Bereiche E 
mit dem Rande k erfülle. 
Zerlegt man den Bereich, indem man 
von einer Stelle von k nach einer anderen 
Stelle von k innerhalb E eine sich selbst 
nicht schneidende stetige Linie l zieht, 
siehe Fig. 53, so entstehen zwei Bereiche 
E x und E t . Die Forderung 2) erfüllt 
f(x, y) auch in E x und E 2 . Deshalb sind auch die auf E 1 
und E 2 bezüglichen Doppelintegrale wohl definiert, und aus 
ihrer Definition als Grenzwerte von Summen folgt sofort: 
(1) y)dxdy =JJf{x,y)dxdy + Jff(x,y)dxdy. 
Ve E % 
Man kann nun den Begriff des Doppelintegrals noch ver 
allgemeinern: Es sei jetzt l eine geschlossene, aber sich selbst 
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