362 Kap. VI. Kubatur, Kòmplanation und mehrfache Integrale. 
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werde, d. h. an der Stelle mit den kleinsten Koordinaten x,y. 
Die in der eckigen Klammer in (2) enthaltene Summe hat 
alsdarm nach Nr. 410 für limx/f/ = 0 den Grenzwert: 
worin y 1 und y 2 die Werte (1) haben und x die gemeinsame 
Abszisse aller Anfangsecken der betrachteten Rechtecke ist. 
In dem Integrale spielt daher x die Rolle eines Parameters. 
Nach Satz 19, Nr. 487, ist das Integral die Differenz aus einer 
stetigen Funktion von x und y 2 und derselben stetigen Funk 
tion von x und y t . Da für y x und y 2 nach (1) stetige Funk 
tionen von x zu setzen sind, folgt, daß dies Integral eine stetige 
Funktion vcm x allein im Intervalle x 0 < x < X ist. Wir wollen 
sie mit u(x) bezeichnen: 
Nach (2) ist nun der Grenzwert 2Ju(x)Ax für limz/# = 0 
zu bilden, d. h. wir summieren jetzt über alle zur y-Achse 
parallelen Streifen. Der hervorgehende Grenzwert ist nach 
Nr. 410: 
x 
wofür man nach (3) schreiben kann: 
X (fz(x) 
Der Wert des Doppelintegrals geht also durch Ausführung 
zweier aufeinanderfolgender Integrationen hervor, wobei die erste 
zwischen veränderlichen, die zweite zwischen festen Grenzen 
stattfindet. 
Natürlich kann man auch umgekehrt Vorgehen, d. h. zu 
nächst die Summanden für einen Rechteckstreifen parallel der 
x-Achse betrachten. Ist y 0 der kleinste und Y der größte