§ 2. Kubatur durch Doppelintegrale. 
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[577, 578 
Wert, den y auf dem Rande k von E erreicht, siehe Fig. 58, 
so möge, wie wir annehmen wollen, jede Parallele zur ic-Achse, 
deren Ordinate zwischen y Q und Y liegt, den Rand k gerade 
zweimal treffen, etwa in den Punkten mit den Abszissen: 
*1 = x 2 = i'Jy), 
wobei x 2 > x x sei. Dabei sind ^ und stetige Funktionen 
Fig. 58. 
Fig. 59. 
von y im Intervalle y 0 y Y. Also kommt entsprechend 
der Formel (5): 
F. 
t/o >Px (y) 
Komplizierter wird die Auswertung des Doppel integrals, 
wenn der Rand l: von den Parallelen zur x- oder y-Achse in 
mehr als zwei Punkten getroffen wird. Nehmen wir z. B. den 
Fall der Fig. 59 an und wollen wir zuerst hinsichtlich y inte 
grieren, so zerlegen wir den ganzen Bereich E durch Parallelen 
zur y- Achse in Teile E x , E 2 , E s so, daß der Rand jedes ein 
zelnen Teiles von den Parallelen zur «/-Achse nur zweimal ge 
troffen wird. Alsdann ist nach Satz 6, Nr. 576: 
/ jfdxdy—f lfdxdy-\- fdxdy-\- fdxdy. 
K 
Bei jedem einzelnen Teilbereiche E x , E 2 , E 3 können wir nun 
genau so Vorgehen wie im Falle der Fig. 57. 
Entsprechend hat man in anderen Fällen zu verfahren. 
578. Allgemeinere Auffassung des Doppelintegrals. 
Der Bereich E, innerhalb dessen über die stetige Funktion f