§ 2. Kubatur durch Doppelintegrale. 365 
f(x,y) für eine Stelle Q von AE. Im ganzen Teilgebiete z/i? 
schwankt f(x,y) um weniger als r. Daher weicht/^ von einem 
Werte, den f(x, y) in irgend einem andern Punkte Q' von AE hat, 
um weniger als t ab. Andererseits weicht der Wert von f für Q' 
um weniger als x von demjenigen Werte ab, den f an der Anfangs 
ecke des Quadrates mit dem Punkte Q' erreicht. Wenn wir 
also in dem Summanden fqAE erstens die Fläche EIE in ihre 
vier den einzelnen Quadraten angehörigen Teile A X E, A 2 E, 
A 3 E und A±E zerlegen und zweitens fq durch die Werte f\, 
f 2f f 3 , von f an den Anfangsecken der Quadrate ersetzen, 
wird der Summand fqAE von dem viergliedrigen Ausdrucke 
f 1 A 1 E + f,A 2 E -f f 3 A 3 E -f f^A.E um weniger als 2t (A X E + 
A 3 E -f A 3 E -f- El¿E), d. h. um weniger als 2teIE ab weichen. 
Wenn wir nun die Doppelsumme J wie in Nr. 574 auf 
Grund der Zerlegung der Fläche in die Quadrate bilden: 
E 
wobei die Größen e u die Flächen der innerhalb E gelegenen 
Quadratstücke bedeuten, unterscheidet sich die Summe von der 
zu untersuchenden Summe S um weniger als 2tE, und diese 
Größe strebt nach Null für lim t = 0. Deshalb kommt lim S == 
lim J. sodaß sich ergibt: 
Satz 10: Erfüllt die Funktion f(x, y) in einem Bereiche E 
die Forderung (£ von Fr. 576 und wird der Bereich irgendwie 
in Teile ElE zerlegt, darauf jedes positiv gemessene Flächen 
stück El E mit demjenigen Werte fq multipliziert, den die Funk 
tion f(oc, y) für irgend eine Stelle Q des betreffenden Teiles eIE 
annimmt, und wird schließlich die Summe aller so ent teilenden 
Produkte 
E 
gebildet, so hat diese Summe den bestimmten endlichen Grenzwert 
E 
wenn die Ausdehnungen aller Teilgebiete eIE nach Full streben 
und dementsprechend die Anzahl aller Teilgebiete über jede Zahl 
wächst. 
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