579] 
366 Kap. VI. Kubatur, Komplanation und mehrfache Integrale. 
579. Definition des Volumens. Wir sind jetzt endlich 
in der Lage, die in Nr. 568 versprochene allgemeine Definition 
des Volumens zu geben. Zu diesem Zwecke nehmen wir an, 
im Raume mit den rechtwinkligen Koordinaten x, y, z sei 
eine Fläche 
(i) 
2 “ f <X , V) 
gegeben. Die Punktion f(x, y) soll innerhalb eines Bereiches, 
der durch ein Flächenstück E der xy-Ebene mit einem Rande k 
dargestellt wird, der Forderung © von Nr. 576 genügen. Indem 
wir längs k den zur xy-Ebene senkrechten Zylinder errichten, 
umschließen wir durch ihn, durch die xy-Ebene und durch 
die Fläche (1) einen Raumteil, dessen Volumen wir nunmehr 
definieren als den zugehörigen Wert des Doppelintegrals: 
K 
Wegen der Bedeutung des Doppelintegrals erscheint also 
das Volumen als der Grenzwert einer Summe. Jeder Summand 
ist dabei das Produkt aus einem positiv gemessenen Stücke ¿JE 
des Bereiches E mit dem Werte, den die Funktion f{x,y) für 
irgend eine Stelle Q des Stückes HE annimmt, d. li. mit 
der zu Q gehörigen ¿-Koordinate der Fläche (1). Jeder 
Summand stellt somit den Inhalt eines Zylinders dar, dessen 
Grundfläche das Stück HE des Bereiches E ist, während als 
seine Höhe die Höhe irgend eines über HE gelegenen Punktes 
der Fläche (1) gewählt werden darf. Die Summe erstreckt 
sich über alle diese Zylinderinhalte, und ihr Grenzwert ist für 
den Fall zu bilden, wo die Abmessungen aller Grundflächen HE 
nach Null streben. 
Daraus folgt noch: Das Volumen ist positiv, wenn die 
z-Koordinaten aller zum Bereiche E gehörigen Punkte der 
Fläche (1) positiv sind, dagegen negativ, wenn alle diese z-Koor- 
dinate negativ sind. Man vergleiche das Entsprechende in 
Nr. 409. Sind jene ¿-Koordinaten für einen Teil E l von E 
positiv und für den andern Teil E s von E negativ, so stellt 
das Doppelintegral nach Satz 6, Nr. 576, die Differenz der 
positiv gemessenen Volumina über E x und E 2 dar.