§ 2. Kubatur durch Doppelintegrale. 
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Daß wir bei der Bildung der Summe, deren Grenzwert 
das Volumen V ist, lauter einzelne Zylindervolumina addierten, 
bedeutet, daß die Fläche (1) durch ein treppenförmiges Gebilde 
ersetzt wird, weil jeder einzelne Zylinder oben eine zur xy- 
Ebene parallele Begrenzung hat. Das treppenförmige Gebilde 
besteht aus diesen oberen ebenen und mit den zlE kongruenten 
Stücken sowie aus Teilen der Mäntel der einzelnen Zylinder. 
Dieses Ersatz-Gebilde ist daher eine stetige Fläche, die beim 
Grenzübergang nach der Fläche (1) konvergiert (vgl. Nr. 531). 
Wir können aber einen noch allgemeineren Ersatz der 
Fläche (1) benutzen: Es sei nämlich 
(2) 
2=Cp(x,y) 
die Gleichung einer zweiten Fläche, und dabei erfülle auch die 
Funktion (fix, y) die Forderung @ von Nr. 576 im Bereiche E. 
Außerdem sei x eine positive Zahl derart, daß an jeder Stelle 
(x, y) des Bereiches E und seines Randes k 
(3) \fi?c,y) - cp(x,y)\<x 
ist. Zur zweiten Fläche gehört nun das Volumen: 
W = fj cp(x, y) dx dy. 
Nach Satz 9, Nr. 576, kommt: 
V — W =JJ [f{x, y) - cp(x, y)] dx dy 
jE 
und also infolge von (3) nach Satz 8 ebenda: 
| V — W\< xE. 
Ist die Fläche (2) derart veränderlich, daß man r nach Null 
streben lassen kann, d. h. konvergiert sie über dem Bereiche E 
überall nach der Fläche (1), so folgt lim W = V. Demnach 
gilt entsprechend dem Satze 1 von Nr. 531 der 
Satz 11: Erfüllen die Funldionen f(x,y) und cp(x,y), die 
zwei Flächen z = f(x, y) und z = w (x, y) definieren, in einem 
Bereiche E der xy-Ebene die Forderung (S von Nr. 576 und 
konvergiert die zivcite Fläche über dem Bereiche E überall nach 
der ersten Fläche, so ist der Grenzwert des Volumens zwischen E, 
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