368 Kap. VI. Kubatur, Komplanation und mehrfache Integrale 
V - 
579, 580] 
dem geraden Zylinder über E und der zweiten Fläche gleich dem 
Volumen zwischen E, demselben Zylinder und der ersten Fläche. 
Wir haben noch zu zeigen, daß die Yolumenformel (1) 
in Nr. 563 in der Tat aus der oben gegebenen Definition des 
Volumens entspringt. In Nr. 577 ergab sieb unter (4) für 
das Doppelintegral oder Volumen der Wert: 
wobei 
V *=J j*'f(cc, y)dx dy = j u{x)dx, 
£ *0 
y i 
u(x) ==y f(x, y) dy 
war. Darin bedeuteten y t und y 2 die äußersten Werte, die 
zu einem beliebigen x im Bereiche 
E gehören. Bei festgehaltenem x 
aber ist z = f(x, y) nichts anderes 
als die Gleichung der Kurve, in 
der die zugehörige zur rc-Achse 
senkrechte Ebene die Fläche (1) 
schneidet. Siehe Fig. 62. Folglich 
hat u(x) nach Satz 7, Nr. 411, in 
der Tat gerade diejenige Bedeutung, 
die u{x) in der Volumenformel (1) 
von Nr. 563 zukommt. Nämlich 
m(x) ist die Fläche des Querschnittes, in dem die angenommene 
Ebene das Volumen V schneidet. 
Fig. 62. 
§ 3. Anwendungen. 
580. Beispiele zur Berechnung von Doppelinte 
gralen. 
1. Beispiel: Es soll dasjenige Volumen V berechnet 
werden, das zwischen dem hyperbolischen Pvaboloid 
z = xy, 
der xt/-Ebene und demjenigen geraden Zylinder liegt, dessen 
Querschnitt E in der xy-Ebene das zwischen der Parabel