37 0 Kap. VI. Kubatur, Komplanation und mehrfache Integrale. 
2. Beispiel: Eine andere einfache Anwendung liefert uns 
eine merkwürdige von JDirichlet benutzte Formel. Es sei 
fix, y) eine stetige Funktion von x und y 
innerhalb des durch die Geraden x = a, y = 0, 
y — x begrenzten Bereiches E der a:?/-Ebene, 
siehe Fig. 64, so daß die über diesem Be- 
reiche liegende Fläche z — fix, y) zusammen 
mit E und den Ebenen x = a, y = 0, y = x 
ein gewisses Volumen einschließt, das als 
Doppelintegral darstellbar ist. Je nachdem 
wir zuerst hinsichtlich y oder hinsichtlich x integrieren, er 
halten wir die beiden Formen des Doppelintegrals: 
/ f{%, y)äy dx =J J fix, y)dx dy, 
'o -J o J 
und dies ist die Dirichletsche Formel. Sie gilt übrigens auch, 
wenn f(x, y) gewisse Unstetigkeiten aufweist, worauf wir jedoch 
nicht eingehen. 
581. Das Volumen innerhalb einer geschlossenen 
Fläche F{pc f y, z) = 0. Wenn eine durch die Gleichung 
F(x, y, z) — 0 
(1) 
definierte Fläche einen Raumteil völlig einschließt, wie es z. B. 
ein Ellipsoid tut, hat man, um 
das Volumen dieses Raumteils 
zu berechnen, nach folgender 
Anleitung vorzugehen: 
Wir nehmen an, daß es sich 
um einen einzigen zusammen 
hängenden Raum teil handelt und 
daß diejenigen Parallelen zur z- 
Achse, die überhaupt die Fläche 
treffen, sie nur zweimal schneiden, 
d. h. daß die Gleichung (1) nach 
z aufgelöst zwei Werte gibt: 
Fig. 65. 
( 2 ) = AO; y), ~v = U 0, y), 
von denen etwa z 2 der größere sei. Siehe Fig. 65. Die Punkte 
( x , V7 &i) sind von den Punkten {x, y, zf) durch eine Kurve c 
580, 581] 
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