§ 3. Anwendungen.
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’ nna
Es sei
11 J und i
’ -fy-Ebene,
diesem Be-
insanunen
= 0,j( = i
i. das als
& nachdem
gieren, er-
der Fläche getrennt, und zwar ist in jedem Punkte dieser
Kurve c die Tangentenebene zur ¿.‘¿/-Ebene senkrecht, d. h. die
Ableitung
(3) F z (x, y,0) = 0
nach (6) in Nr. 253. Elimination von z aus (1) und (3) gibt
die Gleichung der Projektion k der Kurve c auf die ¿¿/-Ebene:
(4) <p(x, lj) = 0.
Die Kurve k ist der Rand desjenigen Stückes E der ¿¿/-Ebene,
dessen Punkte Projektionen von Punkten der Fläche sind.
Die Doppelintegrale
lf . ;
Fi =JJ fl (¿, y)dx dy, V 2 J*f 2 (x, y)dx dy
E £
mgens auch,
if wir jedoch
sind die Volumina zwischen der ¿¿/-Ebene, dem zur ¿¿/-Ebene
senkrechten und die Fläche umhüllenden Zylinder und dem
unteren bzw. oberen Teile der Fläche (1). Das zu berechnende
Volumen V ist die Differenz von V 2 und V v Weil die Doppel
¡chlossenen
integrale V 1 und F 2 Grenzwerte von Summen sind, die sich auf
denselben Variabilitätsbereich E beziehen, ist nach Satz 9, Nr. 576:
Grleieimng
wie es i B.
V= V 2 - V 1 =J j[f 2 (x, y) - f x (x, ¿/)] dxdy.
js
at man, um
s Raumteils
ii folgender
Natürlich hat man bei der Anwendung dieses allgemeinen Ver
fahrens auf einen bestimmten Fall immer zu untersuchen, ob
die Stetigkeitsbedingungen erfüllt sind.
, daß es sich
582. Die Volumenformel mit Benutzung von Polar
koordinaten. Zuweilen ist es zweckmäßig, die Grundfläche E
zusammen-
1 handelt und
dielen zur i-
jt die Flache
ial schneiden,
ninff (1 nach
LUÜg
¡Verte gibt:
l Die Punkte
i «me (
nicht gerade in Rechtecke, sondern auf Grund von Nr. 578
in einer anderen, geeigneteren Weise in Teilgebiete /JE zu
zerlegen. Es kann z. B. sein, daß sich die Gleichung der Fläche
z = f(x, y) besonders einfach darstellt, wenn man in der xy-
Ebene vermöge x — q cos cd und y = q sin cd Polarkoordinaten
einführt, so daß sich ergibt:
(1) z=*<p(n, q).
Dabei wollen wir wie in Nr. 203 annehmen, daß der Radius
vektor q nirgends im Gebiete E negativ sei. In diesem Falle
24 * [581, 582
