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§ 3. Anwendungen. 
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nämlich an Stelle der Buchstaben x und y die Zeichen co und p 
stehen und statt der Funktion f(x,y) die Funktion Q(p(a, q) 
auftritt. Daher ist der Grenzwert nichts anders als das Doppel 
integral: ~ ~ 
(3) V~J J Qcp((o,Q)dcode, 
erstreckt über den ganzen Bereich E. Vorausgesetzt wird 
hierbei, daß /’(oo, p) im Bereiche E der Forderung @ von 
Nr. 576 genügt. 
Was die wirkliche Auswertung dieses Doppelintegrals be 
trifft, so verfahren wir wie in Nr. 577, indem wir zuerst hin 
sichtlich der einen Veränderlichen und dann hinsichtlich der 
andern integrieren, wobei die Grenzen in entsprechender Weise 
zu ermitteln sind. 
Beispiel: In der Ebene eines größten Kreises einer Kugel 
vom Radius R werde ein Kreis 1: vom Radius \R konstruiert, 
der durch den Mittelpunkt geht, 
siehe Fig. 67. Der gerade Zylinder, 
dessen Querschnitt dieser Kreis ist, 
schneidet aus der Kugel ein Volumen 
aus, das berechnet werden soll. Wir 
fassen nur die oberhalb des Kreises 
k stehende Volumenhälfte ins Auge. 
Benutzen wir die Ebene jenes größten 
Kreises als xy-Rhene, so beschränken 
wir uns also auf positive Werte 
■fK 
r 
von z, die bei der Kugel gleich 
Fig. 67. 
der Wurzel aus R 2 —x 2 — y 2 sind, 
wenn der Mittelpunkt der Kugel als Anfangspunkt 0 gewählt 
wird. Die positive x-Achse legen wir durch den Mittelpunkt 
des Kreises k. In Polarkoordinaten co, p hat dieser Kreis k 
die Gleichung p = R cos ca, wobei co von — bis geht, 
während für die Punkte der Kugel z gleich — p 2 wird. 
Dies ist demnach hier die Funktion gp(co, p). Wollen wir zu 
nächst hinsichtlich p integrieren, so haben wir einen beliebigen 
Wert von cd zwischen — ~tc und j?t anzunehmen und festzu 
stellen, welche Werte von p zu dem durch co bestimmten 
Strahle innerhalb des Bereiches E gehören. Dieser Bereich ist