90 L. Abth. Arithmetik. Rangoperationen. §. 88. 
2) Das Quadrat eines Primbruchs kann nur wiederum ein solcher 
sein. Denn ist -J* ein Bruch in seiner einfachsten Gestalt, so 
ist -jr- . -g-=-p ebenfalls nicht weiter zu vereinfachen, da 
der Voraussetzung gemäß (nach §§. 29. und 18.) keiner der 
Primfactoren des Nenners unter denen des Zählers enthalten 
. a „ ■ k 4 m 4 4 16 11 11 121 
■fi. S« findet man j. B. T . T =^ T • T=W 
Anmerkung. Der völlig strenge Beweis dieses Satzes kann erst in 
der höheren Zahlenlehre (im vierten Capitel des dritten Buchs) ge 
geben werden. 
3) Das Quadrat jeder Zahl ist positiv; ste selbst sei positiv oder 
negativ. Denn man erhält: 
1) (-1- a) (-+- a) = + a 3 ; j. B. (-f- 4) (-P- 4) = -+- 16. 
2) (— a) (— a) = ■+- a*; j. B. (-4) (— 4) — + 16. 
4) Das Quadrat eines Products ist Product aus den Quadraten 
seiner Faktoren (ab)* = ab . ab = a*b*, z. B. (5.6)* 
= 5* . 6* = 900. 
§. 88. Quadrat eines Binoms. Soll eine aus mehren 
Theilen bestehende Zahlform zur zweiten Potenz erhoben werden, so 
erhält man durch die Multiplication derselben mit sich selbst ein aus 
mehren Partialproducten bestehendes Quadrat. Der einfachste und 
zugleich wichtigste Fall ist derjenige, wo die Zahlform nur aus zwei 
Theilen besteht, also unter der allgemeinen Form (a -l- b) begriffen 
ist. Durch Quadriren eines solchen Binoms erhält man als Re 
sultat a* •+■ 2ab + b*, also das Quadrat des ersten Theils, 
das doppelte Product beider Theile und das Quadrat des 
zweiten Theils. (Geometrisch kann dieser Satz versinnlicht wer 
den durch die Verlängerung der Seite a eines gegebenen Quadrats 
um die Linie b und Construction eines neuen Quadrats mit der 
Seite (a-t-b), welches aus den vier Flächenräumen a*-i-ab-l-ab-t-b* 
bestehen wird. S. Fig. 71.) 
Ist der zweite Theil des Binoms negativ, dasselbe also von der 
allgemeinen Form (a— b), so erhält man durch Multiplication 
(a — b)* = a* — 2ab b’, also ein Resultat, welches sich von 
dem obigen nur dadurch unterscheidet, daß hier das doppelte Product 
beider Theile des Binoms negativ erscheint. Wird in beiden Aus 
drücken b = 1 gesetzt, so erhält man die Formeln: 
I. (a + 1)* — a* —f— 2a —f- 1; 
II. (a —1)* -a- —2a-1-1; 
nach denen sich, wenn man von dem Quadrat einer gegebenen Zahl 
ausgeht, leicht eine auf- oder absteigende Reihe von Quadratzahlen 
berechnen läßt; z. B.