105 
§. 106. 13. Capitel. Quadratische Gleichungen. 
trachten, insofern der unbestimmte Coefficient 8 des zweiten Gliedes 
jener Form durch Vereinigung entgegengesetzter Zahlenglieder — o 
geworden sein kann, wie das dritte der obigen Beispiele dieses wirk 
lich zeigt. 
§. 106. " Bild»ng quadratischer Gleichungen. Wird 
das Zeichen x als Andeutung zwei verschiedener, bestimmter Zah 
len angesehen, so daß x entweder », oder b bedeute, so lassen sich 
die einfachen Gleichungen 
x — a = 0 und x — b = 0, 
welche jene Werthe von x darstellen, durch Multiplication zu der 
neuen quadratischen Gleichung 
(1) x- — (a+b)x + ab = 0 
verbinden. Setzt man in dieser einen der beiden Werthe » oder b 
an die Stelle von x, so erhält man die identischen Gleichungen 
(1) a 2 — (a -f- b) a -+- ab = 0 
(2) b 2 — (a b) b -+■ ab= 0 
und darf demnach a und b, als Zahlenwerthe der Unbekannten, 
welche der in (l) aufgestellten Bedingung Genüge leisten, die Wur 
zeln dieser quadratischen Gleichung nennen. 
Wird b = a angenommen, so erhält die Gleichung (1) die spe 
cielle Form 
x 2 — 2ax a 2 = 0, 
d. i. (x — a) (x—a) = 0, wo beide Wurzeln einander gleich sind. 
Setzt man aber b — — a, also x — 4- a und x = — a, oder 
x — a = 0 und x-k-a —0, so entsteht durch Multiplication dieser 
einfachen Gleichungen eine quadratische von der reinen Form 
(II) x 2 — a 2 = 0, 
deren Wurzeln dem Inhalte nach einander gleich, in Hinsicht ihrer 
Bezeichnung aber einander entgegengesetzt sind. 
Wird nun eine gegebene quadratische Gleichung der allgemeinen 
Form Ax 2 -+- Bx + C = 0 durch den Coefficienten von x 2 in ihren 
sämmtlichen Gliedern dividirt und in der einfacheren Gestalt 
x 2 -I- Px + (I — 0 
ausgedrückt, um mit der oben gebildeten Gleichung (1) verglichen zu 
werden, so darf man, ihre noch unbekannten Wurzeln durch a und b 
bezeichnend, 
(1) den Coefficienten von x, d. h. P — — (a b) 
(2) das von x freie Glied, d. h. — -k- ab 
setzen. Hieraus ergeben sich folgende Sätze über die Wurzeln einer 
quadratischen Gleichung der allgemeinen Form 
x 2 -I- Px Q, = 0: 
1) der Coefficient des zweiten Gliedes ist die Su mme beider Wur 
zeln mit entgegengesetztem Zeichen; 
2) das dritte Glied ist das Product beider Wurzeln.